462
DE AEQUATIONIBUS CIRCULI SECTIONES DEFINIENTIBUS.
tricas absolvi poterit. Ita e. g. pro n = 17 ex artt. 354, 361 facile pro cosinu
anguli T ' 7 P expressio haec derivatur:
— tV+tM/17 + tV\/(34—2^17)+4VC'H-3Vl7—V(34—2^17)—2^(34+2^17))
cosinus multiplorum illius anguli formam similem, sinus autem uno signo radicali
plus habent. Magnopere sane est mirandum, quod, quum iam Euclidis tempori
bus circuli divisibilitas geometrica in tres et quinque partes nota fuerit, nihil his
inventis intervallo 2000 annorum adiectum sit, omnesque geometrae tamquam
certum pronuntiaverint, praeter illas sectiones easque, quae sponte inde demanant,
puta sectiones in 15, 3.2, 5.2^, 15.2^ nec non in 2^ partes, nullas alias per
constructiones geometricas absolvi posse. Ceterum facile probatur, si nume
rus primus n sit = 2 m -J-l, etiam exponentem m alios factores primos quam
numerum 2 implicare non posse, adeoque vel = 1 vel = 2 vel altiori potes
tati numeri 2 aequalem esse debere; si enim m per ullum numerum imparem £
(unitate maiorem) divisibilis esset atque m = £rj, foret 2 m -j- 1 divisibilis per
2 r ‘ 1, adeoque necessario compositus. Omnes itaque valores ipsius n, pro qui
bus ad meras aequationes quadraticas deferimur, sub forma 2 2 *-j- 1 continentur;
ita quinque numeri 3, 5, 17, 257, 65537 prodeunt statuendo v = 0, 1, 2, 3, 4
sive m = 1, 2, 4, 8, 16. Neutiquam vero pro omnibus numeris sub illa forma
contentis sectio circuli geometrice perficitur, sed pro iis tantum, qui sunt numeri
primi. Fermatius quidem inductione deceptus affirmaverat, omnes numeros sub
illa forma contentos necessario primos esse; at ili. Euler hanc regulam iam pro
v = 5 sive m = 32 erroneam esse, numero 2 ;!2 -J- 1 = 4294967 297 factorem
641 involvente, primus animadvertit.
Quoties autem n—1 alios factores primos praeter 2 implicat, semper ad
aequationes altiores deferimur; puta ad unam pluresve cubicas, quando 3 semel
aut pluries inter factores primos ipsius n— 1 reperitur, ad aequationes quinti
gradus, quando n — 1 divisibilis est per 5 etc., omnique rigore demonstrare possu
mus, HAS AEQUATIONES ELEVATAS NULLO MODO NEC EVITARI NEC AD INFERIORES REDUCI POSSE,
etsi limites huius operis hanc demonstrationem hic tradere non patiantur, quod
tamen monendum esse duximus, ne quis adhuc alias sectiones praeter eas, quas
theoria nostra suggerit, e.g. sectiones in 7, 11, 13, 19 etc. partes, ad constructio
nes geometricas perducere speret, tempusque inutiliter terat.
