SECTIO TERTIA 
DE 
RESIDUIS POTESTATUM. 
Residua terminorum progressionis geometricae ah unitate incipientis constituunt seriem periodicam. 
45. 
Theorema. In omni progressione geometrica 1, a, aa, a* etc. praeter primum 
1, alius adhuc datur terminus a f , secundum modulum p ad a primum unitati con 
gruus, cuius exponens t<^p. 
Demonstr. Quoniam modulus p ad a, adeoque ad quamvis ipsius a 
potestatem est primus, nullus progressionis terminus erit eeO (mod.jp), sed qui 
vis alicui ex his numeris 1,2, 3 p— 1 congruus. Quorum multitudo quum 
sit p — 1, manifestum est, si plures quam p — 1 progressionis termini conside 
rentur, omnes residua minima diversa habere non posse. Quocirca inter terminos 
1, a, aa, a? aP~ x bini ad minimum congrui invenientur. Sit itaque a m = a n 
et m^>n, fietque dividendo per a n , a m ~ n =l (art. 22) ubi m — n<ip> et >0. 
Q. E. D. 
Ex. In progressione 2, 4, 8 etc. terminus primus qui secundum modu 
lum 13 unitati est congruus, invenitur 2 12 —4096. At secundum modulum 23 
in eadem progressione fit 2 n = 2048 = l. Similiter numeri 5 potestas sexta, 
15625, unitati congrua secundum modulum 7, quinta vero, 3125, secundum 11. 
In aliis igitur casibus potestas exponentis minoris quam p — 1 unitati congrua 
evadit, in aliis contra usque ad potestatem p — 1 tam ascendere necesse est.