76
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.
Demonstr. I. Sint A,B residua e quadratis aa,hh oriunda sive A=aa,
B = bb, eritque productum AB quadrato numeri ab congruum i. e. residuum.
II. Quando A est residuum, puta =aa, B vero non-residuum, AB erit
non-residuum. Ponatur enim si fieri potest AB=kk, sitque valor expressio
nis -^(mod.jo)=6; erit itaque aaB=aabb, unde B=bb, i. e. B residuum
contra hyp.
Aliter. Multiplicentur omnes numeri qui inter hos 1,2,3 p— 1 sunt
residua (quorum multitudo = F(p—1)), per A omniaque producta erunt resi
dua quadratica, et quidem erunt omnia incongrua. lam si non-residuum B per
A multiplicatur, productum nulli productorum quae iam habentur congruum erit;
quare si residuum esset, haberentur k{p-\- 1) residua incongrua inter quae non
dum est residuum 0 , contra art, 96.
III. Sint A, B non-residua. Multiplicentur omnes numeri qui inter
hos 1,2,3 p—1 sunt residua per A, habebunturque \{p—1) non-residua
inter se incongrua (II); iam productum AB nulli illorum congruum esse potest;
quodsi igitur esset non-residuum, haberentur P(p-f-l) non-residua inter se in
congrua, contra art. 96. Quare productum etc. Q. E. D.
Facilius adhuc haec theoremata e principiis sect, praec. derivantur. Quia
enim residuorum indices semper sunt pares, non-residuorum vero impares, index
producti e duobus residuis vel non-residuis erit par, adeoque productum ipsum,
residuum. Contra index producti e residuo in non-residuum erit impar adeoque
productum ipsum non-residuum.
Utraque demonstrandi methodus etiam pro his theorematibus adhiberi
potest: Expressionis l A[pn 0 d.p) valor erit residuum, quando numeri a,b simul sunt
residua, vel simul non-residua; contra autem erit non-residuum, quando numerorum
a, b alter est residuum alter non-residuum. Possunt etiam ex conversione theorr.
praecc. obtineri.
99.
Generaliter, productum ex quotcunque factoribus est residuum tum quando
omnes sunt residua, tum quando non-residuorum, quae inter eos occurrunt, mul
titudo est par; quando vero multitudo non-residuorum quae inter factores reperi-
untur est impar, productum erit non-residuum. Facile itaque diiudicari potest,