MODULI QUI SUNT NUMERI COMPOSITI. 
77 
utrum numerus compositus sit residuum necne, si modo quid sint singuli ipsius 
factores constet. Quamobrem in tabula II numeros primos tantummodo recepimus. 
Oeconomia huius tabulae haec est. In margine positi sunt moduli *), in facie vero 
numeri primi successivi; quando ex his aliquis fuit residuum moduli alicuius, in 
spatio utrique respondente lineola collocata est, quando vero numerus primus fuit 
non-residuum moduli, spatium respondens vacuum mansit. 
De modulis, qui sunt numeri compositi. 
100. 
Antequam ad difficiliora progrediamur, quaedam de modulis non primis ad- 
iicienda sunt. 
Si numeri primi p, potestas aliqua p n pro modulo assumitur (ubi p non 
esse 2 supponimus), omnium numerorum per p non divisibilium moduloque mi 
norum altera semissis erunt residua, altera non-residua, i. e. utrorumque multitu 
do = ir(p 1 )p n ~ 1 • 
Si enim r est residuum: quadrato alicui congruus erit, cuius radix moduli 
dimidium non superat, vid. art. 94. lam facile perspicitur, dari I {p — l)p n ~ 1 
numeros per p non divisibiles modulique semisse minoribus; superest itaque ut 
demonstretur, omnium horum numerorum quadrata incongrua esse, sive residua 
quadratica diversa suppeditare. Quodsi duorum numerorum a, b per p non di 
visibilium modulique semisse minorum quadrata essent congrua , foret a a — bb 
sive (a — b){a-\-b) per q/ 1 divisibilis (posito i. q. licet a^>b). Hoc vero fieri non 
potest, nisi vel alter numerorum a — b, a-\-b per p n fuerit divisibilis, quod fieri 
nequit, quoniam uterque <ip n , vel alter per p m alter vero per p n ~ m , i. e. uter 
que per p. Sed etiam hoc fieri nequit. Manifesto enim etiam summa et diffe 
rentia 2 a et 2 b per p foret divisibilis adeoque etiam a et b contra hyp. — 
Hinc tandem colligitur inter numeros per p non divisibiles moduloque minores 
h [p—1 )p n residua dari, reliquos quorum multitudo aeque magna, esse non-resi- 
dua Q. E. D. — Potest etiam theorema hoc ex consideratione indicum derivari 
simili modo ut art. 97. 
101. 
Quivis numerus per p non divisibilis, qui ipsius p est residuum, erit residuum 
*) Quomodo etiam modulis compositis carere possimus mox docebimus.