78 
DE CONGRUENTES SECUNDI GRADUS. 
etiam ipsius p n ; qui vero ipsius p est non-residuum, etiam ipsius p n non-resi 
duum erit. 
Pars posterior huius propositionis per se est manifesta. Si itaque prior fal 
sa esset, inter numeros ipso p n minores simulque per p non divisibiles plures fo 
rent residua ipsius p quam ipsius p n , i. e. plures quam -hp n ~ l [p—1). Nullo 
vero negotio perspici poterit, multitudinem residuorum numeri p inter illos nu 
meros esse praecise — Jtp n ~ l {p— 1). 
Aeque facile est, quadratum reipsa invenire, quod secundum modulum p n 
residuo dato sit congruum, si quadratum huic residuo secundum modulum p con 
gruum habetur. 
Scilicet si quadratum habetur, aa, quod residuo dato A secundum modu 
lum p [1 est congruum, deducitur inde quadratum ipsi A secundum modulum p* 
congruum (ubi v >ja et — vel <1 2ju supponitur) sequenti modo. Ponatur 
radix quadrati quaesiti = + u -f- ¿rp [1 ', quam formam eam habere debere facile 
perspicitur; debetque esse aa-\- ‘laxp^A-x %}?'’'=A(mod.p*) sive propter 2 
A — aa—A^^a xp lx (mod. p'*). Sit A — a a —p v d, eritque x valor expressionis 
+ Y a (mod.j9 v—1 *), quae huic + (mod.p 1 ) aequivalet. 
Dato igitur quadrato ipsi A secundum p congruo, deducitur inde quadra 
tum ipsi A secundum modulum p 2 congruum; hinc ad modulum p', hinc ad p* 
etc. ascendi poterit. 
Ex. Proposito residuo 6, quod secundum modulum 5 quadrato 1 con 
gruum, invenitur quadratum 9' cui secundum 25 est congruum, 1 6~ cui secun 
dum 125 congruum etc. 
102. 
Quod vero attinet ad numeros per p divisibiles, patet, eorum quadrata per 
pp fore divisibilia, adeoque omnes numeros per p quidem divisibiles, neque vero 
per pp, ipsius p n fore non residua. Generaliter vero, si proponitur numerus p k A 
ubi A per p non est divisibilis, hi casus erunt distinguendi: 
1) Quando k == vel ^>n, erit p k A=0 (mod.j9 n ), i. e. residuum. 
2) Quando k <^n atque impar, erit p k A non-residuum. 
Si enim esset p k A=p 2rJtl A = ss {mod.jrP), ss per p 27 ^ divisibilis esset, 
id quod aliter fieri nequit, quam si fuerit s per p x+l divisibilis. Tunc vero ss