MODULI QUI SUNT NUMERI COMPOSITI. 
79 
etiam per p 2y '~ k ' divisibilis, adeoque etiam (quia 2z-j-2 certo uon maior quam n) 
p k A i. e. p' /Ary A; sive A per p, contra hyp. 
3) Quando k <^n atque par. Tum p ]i A erit residuum vel non-residuum 
ipsius p n , prout A est residuum vel non-residuum ipsius p. Quando enim A 
est residuum ipsius p, erit etiam residuum ipsius p n ~~ h . Posito autem A = aa 
(mod.p n ~ k ) erit Ap k =aap Ji {pn.O(i.p n ), aap K vero est quadratum. Quando autem 
A est non-residuum ipsius p, p ]i A residuum ipsius p n esse nequit. Ponatur enim 
p k A = aa (mod.p w ), eritque necessario a a per p k divisibilis. Quotiens erit qua 
dratum cui A secundum modulum p n ~ k adeoque etiam secundum modulum p 
congruus, i. e. A erit residuum ipsius p contra hyp. 
103. 
Quoniam casum p = 2 exclusimus, de hoc adhuc quaedam dicenda. Quan 
do numerus 2 est modulus, numerus quicunque erit residuum, non-residua nulla 
erunt. Quando vero 4 est modulus, omnes numeri impares formae 4&-J- 1 erunt 
residua, omnes vero formae 4A'-)-3 non-residua. Tandem quando 8 aut altior 
potestas numeri 2 est modulus, omnes numeri impares formae 8A: —J— 1 erunt re 
sidua, reliqui vero, seu ii qui sunt formarum 8&-[-3, 8&-{- 5 , 8A' —f- 7 , erunt 
non-residua. Pars posterior huius propositionis inde clara, quod quadratum cu 
iusvis numeri imparis, sive sit formae 4A:—{— 1, sive formae 4k—1, fit formae 
8A*—J— 1. Priorem ita probamus. 
1) Si duorum numerorum vel summa vel differentia per 2 n ~ 1 est divisibilis, 
numerorum quadrata erunt congrua secundum modulum 2 n . Si enim alter poni 
tur = a, erit alter formae 2cuius quadratum invenitur —aa (mod. 2 n ). 
2) Quivis numerus impar, qui ipsius 2 n est residuum quadraticum, congruus 
erit quadrato alicui, cuius radix est numerus impar et <^2 W ~ 2 . Sit enim qua 
dratum quodcunque, cui numerus ille congruus, a a atque numerus a = -t~ft 
(mod. 2 n ~ l ) ita ut a moduli semissem non superet (art. 4), eritque aa = aa. 
Quare etiam numerus propositus erit =aa. Manifesto vero tum a tum a erunt 
impares atque a 2 W ~ 2 . 
3) Omnium numerorum imparium ipso 2 n ~ 2 minorum quadrata secundum 
2” incongrua erunt. Sint enim duo tales numeri r et s, quorum quadrata si se 
cundum 2 n essent congrua, foret [r— s)(»*-f-s) per 2" divisibilis (posito r^>s). 
Facile vero perspicitur numeros r — s, r-j-s simul per 4 divisibiles esse non