80 
DE CONGRUENTES SECUNDI GRADUS. 
posse, quare si alter tantummodo per 2 est divisibilis, alter, ut productum per 2 n 
divisibilis fieret, per 1 divisibilis esse deberet, Q.E. A. quoniam uterque 
^ 2 W—2 
4) Quodsi denique haec quadrata ad residua sua minima positiva reducuntur, 
habebuntur 2 n—3 residua quadratica diversa modulo minora*), quorum quodvis 
erit formae 8^-j-l. Sed quum praecise 2 n “ 3 numeri formae 8A'—f-1 modulo 
minores exstent, necessario hi omnes inter illa residua reperientur. Q. E. D. 
Ut quadratum numero dato formae S/r-j-1 secundum modulum 1 n con 
gruum inveniatur, methodus similis adhiberi potest, ut in art. 101; vid. etiam 
art. 88. — Denique de numeris paribus eadem valent, quae art. 102 generaliter 
exposuimus. 
104. 
Circa multitudinem valorum diversorum [i. e. secundum modulum incongru- 
orum), quos expressio talis V= \/A(mod.p n ) admittit, siquidem A est residu 
um ipsius p\ facile e praecc. colliguntur haec. (Numerum p supponimus esse 
primum, ut ante, et brevitatis caussa casum n — 1 statim includimus). I. Si A 
per p non est divisibilis, V unum valorem habet pro p = 2, n = 1, puta V 
= 1; duos, quando p est impar, nec non pro p= 2, n = 2, puta ponendo unum 
= v, alter erit =• — v; quatuor pro p = 2,n'^>2, scilicet ponendo unum =v, 
reliqui erunt =—v, 2^ 1 —^, 2" —1 — v. II. Si A per p divisibilis est, neque 
vero per p n , sit potestas altissima ipsius p ipsum A metiens p~ [J ' (manifesto enim 
ipsius exponens par esse debebit) atque A = ap~ [J \ Tunc patet, omnes valores ip 
sius V per p {) ' divisibiles esse, et quotientes e divisione ortos fieri valores expr. 
V — \¡a (mod.pd~ [2 f*); hinc omnes valores diversi ipsius V prodibunt, multipli 
cando omnes valores expr. V' inter 0 et p‘~“ sitos per pl*-; quare illi exhibe 
buntur per 
vpv-, vpv- -\-p n ~ tl , vp\’- -j- 2p n ~ !l ... vp f ' -j- ij(/ — 1 )p n ~~ fl 
si v indefinite omnes valores diversos expr. V' exprimit, ita ut illorum multi 
tudo fiat pv-, 2pi J * vel 4p^, prout multitudo horum (per casum I) est 1, 2 vel 4. 
III. Si A per p n divisibilis est, facile perspicietur, statuendo n = 2m vel = 2m — 1, 
prout par est vel impar, omnes numeros ¡Der p m divisibiles, neque ullos alios, esse 
valores ipsius V; quare omnes valores diversi hi erunt 0 ,p m , 2p m ... [p~ m — 1 )p m , 
quorum multitudo p ~ m . 
*) Puta quoniam multitudo numerorum imparium infra i n ~~ est ‘2” -3 .