RESIDUA -j- 2 ET 2.
85
*) Considerando scilicet — 2 tamquam productum ex +2 et — l V. art. 11 \.
8 w -(- 3 , 8 w -f- 5 dabitur, cuius residuum -j- 2; sicque nullus certe numerus
huius formae infra 100 exstat, cuius residuum sit -J- 2. Si autem ultra hunc limitem
tales numeri reperirentur, ponamus minimum omnium = t. Erit itaque t vel
formae 8 n 3 vel 8 n -f- 5; -(-2 ipsius residuum erit, omnium autem numero
rum similium minorum non-residuum. Ponatur 2=aa(mod. t) poteritque a
ita semper accipi ut sit impar simulque <^t, (habebit enim a ad minimum duos
valores positivos ipso t minores quorum summa =t, quorumque adeo alter par
alter impar v. artt. 104. 105). Quo facto sit aa — 1-\-tu, sive tu=-aa—2,
eritque a a formae 8%-j*l, tu igitur formae 8 n — 1, adeoque u formae
8^+3 vel 8 5 , prout t est formae posterioris vel prioris. At ex aequatione
aa = 2-\-tu sequitur, etiam 2 = aa (mod.u) i. e. 2 etiam ipsius u residuum
fore. Facile vero perspicitur, esse u<ft, quare t non est minimus numerus in
ductioni nostrae contrarius contra hyp. Unde manifesto sequitur id quod per
inductionem inveneramus generaliter verum esse.
Combinando haec cum prop. art. 111 sequentia theoremata nanciscimur.
I. Numerorum omnium primorum formae 8 n3, -j- 2 erit non-residuum,
— 2 vero residuum.
II, Numerorum omnium primorum formae 8 n -}- 5 tum -)-2 tum —2
erunt non-residua.
113.
Per similem inductionem ex tab. II inveniuntur numeri primi quorum re
siduum est — 2 hi: 3,11,17,19,41,43, 59, 67,73, 83, 89, 97*). Inter quos quum
nulli inveniantur formarum 8 n 8 n -j- 7 , num etiam haec inductio theore
matis generalis vim adipisci possit investigemus. Ostenditur simili modo ut in
art. praec. quemvis numerum compositum formae 8w-}-5 vel Sn-\-7, factorem
primum involvere formae 8n-j-5 vel formae 8»-f-7 , ita ut, si inductio nostra
generaliter vera, —2 nullius omnino numeri formae 8 ^ —(— 5 vel Hn-\- 7 resi
duum esse possit. Si autem tales numeri darentur, ponatur omnium minimus
= t, iiatque —-Iz^aa — tu. Ubi si uti supra a impar ipsoque t minor acci
pitur, u erit formae 8 n-\-h vel Sn-\-l, prout t formae 8 w —j— 7 vel 8 —|— 5.
At ex eo quot/ a a-\- 2 —tu atque a<ft, quisquis facile derivare poterit, etiam