RESIDUA -f- 2 ET 
2. 
87 
per esse residuum quadraticum. Sit itaque ff=—1 patetque, si z fuerit nu 
merus quicunque per modulum non divisibilis, quaternorum numerorum -\-z, 
— z,-\-fz,—fz (quos incongruos esse facile perspicitur) biquadrata inter se con 
grua fore; porro manifestum est biquadratum numeri cuiuscunque, qui nulli ex 
his quatuor congruus, illorum biquadratis congruum fieri non posse, (alias enim 
congruentia x' = z' quae est quarti gradus plures quam 4 radices haberet, con 
tra art. 43). Hinc facile colligitur, omnes numeros l,2,3,...4m, tantummodo 
m biquadrata incongrua praebere, quibus inter eosdem numeros m congrui repe 
llentur, reliqui autem nulli biquadrato congrui esse poterunt. 
II. Secundum modulum primum formae 8»—|— 1, —1 biquadrato congru 
us fieri poterit (— 1 erit residuum hiquadraticum huius numeri primi). 
Omnium enim residuorum biquadraticorum ipso 8 n-\- Í minorum (cifra 
exclusa) multitudo erit =2n i. e. par. Porro facile probatur, si r fuerit resi 
duum biquadraticum ipsius Sfi-J-l, etiam valorem expr. y (mod. 8»-f-1) fore 
tale residuum. Hinc omnia residua biquadratica in classes simili modo distribui 
poterunt, uti in art. 109 residua quadratica distribuimus: nec non reliqua demon 
strationis pars prorsus eodem modo procedit ut illic. 
III. lam sit g 4 =— 1, et h valor expr. — (mod. %n-\-1). Tunc erit 
[g±h) 2 = g*+h* + 2gh == /-f-A 2 +2 
(propter gh= \). At g' 1 =— 1, adeoque —K l = g' 1 h 2 = g l , unde tandem 
¿T-l-/r = 0, atque [g^rh)* = + 2 ¿.e. tum -f-2 tum —2 residuum quadra 
ticum ipsius 8%-f-l. Q. E. D. 
J 
116. 
Ceterum ex praecc. facile regula sequens generalis deducitur: -f- 2 est resi 
duum numeri cuiusvis, qui neque per 4, neque per ullum primum formae 8 n -f- 3 vel 
8 n -(- 5 dividi potest, reliquorum autem [ex.gr. omnium numerorum formarum 
8 n -f- 3 , 8 n -}- 5 , sive sint primi, sive compositi) non-residuum. 
— 2 est residuum numeri cuiusvis, qui neque per 4, neque per ullum primum 
formae 8 n -f- 5 vel 8n-\-l dividi potest, omnium autem reliquorum non-residuum. 
Theoremata haec elegantia iam sagaci Fermatio innotuerunt, Op. Mathem. 
p. 168. Demonstrationem vero quam se habere professus est, nusquam commu