88 
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS. 
nicavit. Postea ab ili. Eulero frustra semper est investigata : at ill. La Grange pri 
mus demonstrationem rigorosam reperit, Nonv. Mém. de TAc. de Berlin 177 5. 
p. 349, 351. Quod ill. Eulerum adhuc latuisse videtur, quando scripsit diss. in 
Opusc. Analyt. conservatam, T. I. p. 259. 
Residua +3 et — 3. 
117. 
Pergimus ad residua -j- 3 et — 3. A posteriori initium faciamus. 
Reperiuntur ex tab. II. numeri primi quorum residuum est —3 hi: 3, 7. 
13,19,31,37,43,61,67,73,79,97, inter quos nullus invenitur formae 6w-(-5. 
Quod vero etiam ultra tabulae limites nulli primi huius formae dantur quorum 
residuum — 3 , ita demonstramus: Primo patet quemvis numerum compositum 
formae 6w-(-5 necessario factorem primum aliquem eiusdem formae involvere. 
Quousque igitur nulli numeri primi formae 6 n-)- 5 dantur, quorum residuum 
— 3, eo usque tales etiam compositi non dabuntur. Quodsi vero ultra tabulae 
nostrae limites tales numeri darentur, sit omnium minimus =t, ponaturque 
— 3 =zaa — tu. Tunc erit, si acceperis a parem ipsoque t minorem, u<ft, at 
que — 3 residuum ipsius u. Sed quando a formae 6w+2, tu erit formae 
6^—(— 1, adeoque u formae 6w-|-5. Q. E. A. quia t minimum esse numerum 
inductioni nostrae adversantem supposuimus. Quando vero a formae 6 n, erit 
tu formae 36^ —{— 3 adeoque \tu formae 12 /*.—(— 1, quare \ u erit formae 
6—(— 5; patet autem —3 etiam ipsius \u residuum fore, atque esse \u<^t, 
Q. E. A. Manifestum itaque, —3 nullius numeri formae 6w-f-5 residuum 
esse posse. 
Quoniam quisque numerus formae 6w-f- 5 necessario vel sub forma 1 2 ^ —(— 5, 
vel sub hac 12—f- 11 continetur, prior autem forma sub hac posterior 
sub hac 4 n -j- 3 , haec habentur theoremata; 
I. Cuiusvis numeri primi formae I 2 /< —(— 5, tum —3 tum -f-3 non-resi 
duum est. 
II. Cuiusvis numeri primi formae 1 2 n-\- 11, — 3 est non-residuum , -j- 3 
vero residuum.