112 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
Demonstr. I. Accipiendo integros a, b ita, ut iiat aa-^-fib = X, erit 
— ah — fia-j-m (S-f a*). lam sit numerus complexus propositus, 
y residuum minimum positivum ipsius B secundum modulum X, atque x resi 
duum minimum positivum ipsius A-{-{ab — 1)a■)*—secundum modulum y, 
statuatur que 
A-{-{ab — t>a) ■ —^ = a?-J-y • k 
Hinc erit 
A-{-Bi — {oo-{-yi) = —y)i — («6— 
— y- -m{{)-{-ai) 
= (y — y •»') ~~ y (b -j- ai) i» 
i. e. per m divisibilis, sive A-{-Bi = <2?-|-j/i(mod.m) Q. E. P. 
II. Supponamus, secundum modulum m eidem numero complexo congruos 
esse duos numeros x-\-yi, x-\-y'i, qui proin etiam inter se congrui erunt se 
cundum modulum m. A potiori itaque secundum modulum X congrui erunt, ad- 
eoque y =y (mod. X). Quodsi igitur uterque y,y' inter numeros 0, 1,2, 3 X—l 
contentus esse supponitur, necessario debet esse y — y'. Hoc pacto vero etiam 
fiet x = x{moAm), i. e. x — x' per m, adeoque x ~y~ integer per y-j-yA 
divisibilis, sive 
X —x' 
\ 
0 (mod.f+£•») 
Hinc autem, quum y, y sint numeri inter se primi, concluditur per partem se 
cundam theorematis art. praec., x etiam per normam numeri y-j-y**, i. e. 
per numerum } K divisibilem fore, adeoque x — x' per y. Quapropter si etiam 
uterque x, x in complexu numerorum 0, 1, 2, 3 . . . . y —1 contentus esse sup 
ponitur, necessario erit x = x', sive residua x -{-y i, x-\-y'i identica. Q. E. S. 
Ceterum sponte patet, huc quoque referendum esse casum, ubi modulus 
est numerus realis, puta 6=0, et proin X = + a, nec non eum, ubi modu 
lus est numerus pure imaginarius, puta a= 0, et proin X = + b. In utroque 
casu habetur y = X.