122
THEORIA RESIDUORUM B1QUADRATICORUM.
51.
Quae in Sectione tertia Disquisitionum Arithmeticarum circa residua potesta
tum tradita sunt, ad maximam partem, levibus mutationibus adhibitis, etiam in
arithmetica numerorum complexorum valent: quinadeo demonstrationes theore
matum plerumque retineri possent. Ne tamen quid desit, theoremata principalia
demonstrationibus concisis firmata proferemus, ubi semper subintelligendum est,
modulum esse numerum primum.
Theorema. Denotante k integrum per modulum m, cuius norma = p, non
divisibilem, erit k p ~ 1 = i [mod.m).
Demonstr. Constituant a, h, c etc. systema completura residuorum incon-
gruorum pro modulo m, ita tamen, ut residuum per m divisibile omissum sit,
adeoque multitudo illorum numerorum, quorum complexum denotamus per C,
sit = p— 1. Sit porro C' complexus productorum ka, kb, kc etc. Ex bis pro
ductis per hyp. nullum erit divisibile per m, quare singula habebunt residua con
grua in complexu C, puta fieri poterit ak = a, bk = b', ck = c etc. (mod. m),
ita ut numeri a, b', c etc. ipsi in complexu C inveniantur: denotemus com
plexum numerorum d, b', cete, per C". Sint P, P , P producta e singulis nu
meris complexuum C, C', C" resp., sive
P — abe ....
P' = k p ~ l abc . . . . = k p ~ x P
P "= db'c . . . .
Quum numeri complexus C" deinceps congrui sint numeris complexus C, erit
P"=P' sive P" = k p ~ l P. At quum facile perspiciatur, binos quosvis numeros
complexus C" inter se incongrues, adeoque omnes inter se diversos esse, neces
sario numeri complexus C cum numeris complexus C prorsus conveniunt, or
dine tantummodo mutato, unde fit P"= P. Erit itaque [k p ~ x —1 )P numerus
per m divisibilis, unde, quum m sit numerus primus singulos factores ipsius P
non metiens, necessario k p ~ x — 1 per m divisibilis esse debebit. Q. E. D.
52.
Theorema. Denotante k, ut in art. praec., integrum per modulum m non di
visibilem, atque t exponentem minimum [praeter 0), pro quo k f = 1 [mod.m), erit t
divisor cuiusvis alius exponentis u, pro quo k n = 1 [mod. m).
