• COMMENTATIO SECUNDA.
125
Exemplum secundum.
m = 7, p = 49, A=l+2¿
Ind.
Residuum
Ind.
Residuum
Ind.
Residuum
Ind.
Residuum |
Ind.
Residuum
0
+ 1
10
— 1— i
20
+ 2 i
30
+ 2 2 i I
40
i 3
1
-j- 1-1-2 i
11
+ 1—3 i
21
+ 3 + 2 i
31
— 1 + 2»
41
+ 3- i
2
— 3 — 3 i
12
— i
22
— 1+ •
32
+ 2
42
— 2 — 2 i
3
-)- 3 — 2 i
13
+ 2— i
23
— 3— i
33
+ 2 — 3 i
43
+ 2 + i
4
— 3 i
14
— 3 + 3 i
24
— 1
34
—1— 1 —l - ^
44
— 2 i
5
— 1 — 3 i
15
— 2 — 3 i
25
— 1 — 2 i
35
— 1 + 3 i
45
— 3 — 2 i
6
— 2 + 2 i
1 6
— 3
26
+ 3 + 3¿
36
4- 1
46
+ 1— i
7
+ 1 — 2 i
17
— 3+ i
27
— 3 + 2¿
37
— 2+ i
47
+ 3 + i
8
— 2
18
+ 2 + 2 i
28
+• 3 i
38
+ 3 — 3*
9
2 + 3 i
19
— 2 — i
29
+ 1 + 3 i
39
—(— 2 —J— 3 i
55.
Adiicimus circa radices primitivas et algoritlihmm indicum quasdam obser
vationes , demonstrationibus propter facilitatem omissis.
I. Indices secundum modulum p — 1 congrui in systemate dato residuis
secundum modulum m congruis respondent et vice versa.
II. Residua, quae respondent indicibus ad p — 1 primis, etiam sunt radi
ces primitivae et vice versa.
III. Si accepta radice primitiva h pro basi, radicis alius primitivae /i in
dex est t, et vice versa t' index ipsius h, dum K pro basi accipitur, erit tt'=\
(mod. p — J); et si iisdem positis indices cuiusdam alius numeri in his duobus sy
stematibus resp. sunt u, u', erit tu = u, t'u = u (mod. p — 1).
IV. Dum numeri 1, 1 -\-i eorumque terni socii (tamquam nimis ieiuni) a
modulis nobis considerandis excluduntur, restant numeri primi ii, quos in art. 34
tertio et quarto loco posuimus. Posteriorum normae erunt numeri primi reales
formae 4w + l; priorum normae autem quadrata numerorum primorum realium
imparium: in utroque igitur casu p — 1 per 4 divisibilis est.
V. Denotando indicem numeri —1 per u, erit 2zi = 0(mod.p—■!), ad-
eoque vel u = 0, vel u —y [p — 1): at quum index 0 respondeat residuo -f-J.
index numeri —1 necessario debet esse \{p — 1).
VI. Perinde denotando per u indicem numeri i, erit 2 u = \[p-—1)
(mod.^ — 1), adeoque vel u = \-{p — l) vel u = f(p — 1). Sed hic ambiguitas
ab electione radicis primitivae pendet. Scilicet si radice primitiva h pro basi ac-