126 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
cepta index numeri i est f- [p— 1), index fiet f{p— 1), dum pro basi accipitur 
№, designante p integrum positivum formae 4 ^ —{— 3 ad p — 1 primum, e. g. 
ipsum numerum p—2, et vice versa. Quare semissis altera radicum primitiva 
rum conciliat numero i indicem %[p — 1), altera indicem [p — 1), manifesto- 
que pro illis basibus —i indicem |-[p — 1), pro his indicem \{p-—1) habebit. 
VII. Quoties modulus est numerus primus realis positivus formae 4 /z —J— 3, 
puta — q, adeoque p = qq, indices omnium numerorum realium per q-\-1 
divisibiles erunt; denotante enim t indicem numeri realis k, erit, propter 
k q ~ l = 1 (mod. q), (q — 1) t = 0 (mod. qq — 1), adeoque integer. Perinde in 
dices numerorum pure imaginariorum ut ki per p(^ + l) divisibiles erunt. Pa 
tet itaque, radices primitivas pro talibus modulis inter solos numeros mixtos quae 
rendas esse. 
VIII. Contra pro modulo m, qui est numerus primus complexus mixtus, 
(cuiusque proin norma p est numerus primus realis formae 4w-j-l), radices pri 
mitivae quaelibet etiam inter numeros reales eligi possunt, inter quos completum 
adeo systema residuorum incongruorum monstrare licet (art. 40). Manifesto au 
tem quilibet numerus realis, qui est radix primitiva pro modulo complexo m, si 
mul erit in arithmetica numerorum realium radix primitiva pro modulo p, et 
vice versa. 
56. 
Etiamsi theoria residuorum et non-residuorum quadraticorum in arithmetica 
numerorum complexorum sub ipsa theoria residuorum biquadraticorum contenta 
sit, tamen antequam ad hanc transeamus, illius theoremata palmaria hic seorsim 
proferemus: brevitatis vero caussa de solo casu principali, ubi modulus est nume 
rus primus complexus (impar), hic loquemur. 
Sit m talis modulus, atque p eius norma. Manifesto quivis integer (per m 
non divisibilis, quod hic semper subintelligendum) quadrato secundum modulum 
m congruus fieri vel potest vel non potest, prout illius index, radice aliqua pri 
mitiva pro basi accepta, par est vel impar; in casu priori ille integer residuum 
quadraticum ipsius m dicetur, in posteriori non-residuum. Hinc concluditur, in 
ter p — 1 numeros, qui systema completum residuorum incongruorum (per m non 
divisibilium) exhibeant, semissem ad residua quadratica, semissem alteram ad 
non-residua quadratica referri. Cuivis vero alii numero extra illud systema idem