THEOREMATIS ARITHMETICI 
VI. Hinc statim sequitur (A, p) = 
a+a+a----+[ (j au 
p 
[p-0*1 
VII. Ex VI. et I. nullo negotio derivatur 
(k, p)-\-{—k, p) =i{p—1) 
Unde sequitur, —A vel eandem vel oppositam relationem ad p habere (quate 
nus huius residuum aut non-residuum quadraticum est) ut -f-A, prout p vel 
formae fuerit, vel formae 4w-|-3. In casu priori manifesto —1 resi 
duum , in posteriori non-residuum ipsius p erit. 
VIII, Formulam in VI. traditam sequenti modo transformabimus. Per III. ht 
[fcOi] = = *_ = *-.-£].... 
Applicando hasce substitutiones ad 1 ~~ membra ultima seriei superioris in illa 
expressione, habebimus 
primo, quoties p est formae 4 n -j-1 
(A, v) = l(A —1)0—F 
- i[|]+a+a-...+[^]i 
secundo, quoties p est formae 4 w -j- 3 
(A, jp) = i(A — l)(p-f-l) 
- 2 ia+a+a--"+t ii u i -3! 
j+a+a • ■ ■ •+[^1! 
IX. Pro casu speciali k =. -)- 2 e formulis modo traditis sequitur 
(2, p) = F(p + 1)> sumendo signum superius vel inferius, prout p est formae 
4w-f-l vel 4 —}— 3. Erit itaque (2, p) par, adeoque 2JIp, quoties p est for 
mae 8w-j-l vel 8w- —j— 7 ; contra erit (2, p) impar atque 2Np, quoties p est 
formae 8 n -J- 3 vel 8 n -f- 5. 
Theo] 
3 x.... usqu 
etiam inter 
reperiri. 1 
Dem. 
bra prima u 
r o -.tum 
ad B 
Hinc fit 
L 
Q. E. D. 
Theor 
cunque, erit 
Demon 
sed maior qu 
praesens ex 
que i (k — 1