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152 ANZEIGE. 
mit folgendem allgemeinen ableiten lassen: Zwei ungleiche positive (ungerade) 
Primzahlen, p, q, haben allemal gleiche Relation wechselseitig zu einander (d.i. 
die eine ist quadratischer Rest oder Nichtrest der andern, je nachdem die andere 
Rest oder Nichtrest der ersten ist), wenn entweder beide von der Form 4^-J-l 
sind, oder wenigstens die eine : hingegen ist ihre wechselseitige Relation entge 
gengesetzt (d.i. die eine ist Nichtrest der andern, wenn diese Rest von jener ist, 
und umgekehrt), so oft beide zugleich von der Form 4 n -f- 3 sind. Dies ist das 
erwähnte Fundamental-Theorem, welches man in mehr als einer Gestalt aus- 
drücken kann ; die hier gewählte ist diejenige, in der es in der Abhandlung des 
Hrn. Prof. Gauss neu bewiesen ist. 
Die schönsten Lehrsätze der hohem Arithmetik, und namentlich auch die 
jenigen , wovon hier die Rede ist, haben das Eigne, dass sie durch Induction 
leicht entdeckt werden, ihre Beweise hingegen äusserst versteckt liegen, und nur 
durch sehr tief eindringende Untersuchungen aufgespürt werden können. Gerade 
diess ist es, was der hohem Arithmetik jenen zauberischen Reiz gibt, der sie zur 
Lieblingswissenschaft der ersten Geometer gemacht hat, ihres unerschöpflichen 
Reichthums nicht zu gedenken, woran sie alle andere Theile der reinen Mathe 
matik so weit übertrifft. Die beiden oben erwähnten Specialsätze waren schon 
Fermat bekannt, welcher, seiner Behauptung nach, auch im Besitz ihrer Beweise 
war : ob er sich darin nicht täuschte, können wir nicht entscheiden, da er nie 
Etwas davon bekannt gemacht hat: aber für möglich dürfen wir es gewiss halten, 
da mehrere Beispiele von Selbsttäuschung bei andern grossen Geometern, na 
mentlich bei Euler, Legendre und auch bei Fermat selbst, vorhanden sind. Von 
dem ersten jener Theoreme gab Euler den ersten Beweis ; allein das andere zu de- 
raonstriren, glückte diesem grossen Geometer, seiner eifrigen, viele Jahre hin 
durch fortgesetzten, Bemühungen ungeachtet, nicht; erst Lagrange wares Vor 
behalten, diese Lücke auszufüllen. Beide Geometer bewiesen auch noch verschie 
dene andre specielle Sätze, eine grössere Anzahl aber, die sie durch Induction 
fanden, entzog sich ihren Bemühungen, sie zu beweisen, stets. Es ist indess ein 
merkwürdiges Spiel des Zufalls, dass beide Geometer durch Induction nicht auf 
das allgemeine Fundamental-Theorem gekommen sind, das einer so einfachen Dar 
stellung fähig ist. Dieses ist zuerst, obwohl in einer etwas andern Gestalt, von 
Legendre vorgetragen, in der Histoire de l’Académie des Sciences de Paris 17 85; 
sowohl hier, als nachher in seinem Werke: Essai dé une théorie des nombres, hat 
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