THEOREMATIS ARITHMETICI DEMONSTRATIO NOVA. 
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dieser treffliche Analyst den Beweis auf sehr scharfsinnige Untersuchungen zu 
gründen gesucht, die aber gleichwohl nicht zu dem gewünschten Ziele geführt ha 
ben, welches, wenn wir uns nicht irren, auch auf diesem Wege nicht erreicht 
werden konnte. 
Der Verfasser der Abhandlung, welcher diese Anzeige gewidmet ist, be 
trat die Bahn der hohem Arithmetik zu einer Zeit, wo ihm alle frühem Arbeiten 
andrer Geometer in dieser Wissenschaft ganz unbekannt waren; diesem Umstande 
ist es hauptsächlich zuzuschreiben, dass er überall einen ganz eigenthümlichen 
Gang genommen hat. Jenes Fundamental-Theorem fand er zwar schon sehr früh 
durch Induction, allein erst ein ganzes Jahr später gelang es ihm, nach vielen 
Schwierigkeiten und vergeblichen Versuchen, den ersten vollkommen strengen 
Beweis aufzufinden, der im vierten Abschnitte seiner Disquisitiones arithmeticae 
entwickelt ist: dieser Beweis gründet sich aber auf sehr mühsame und weitläuftige 
Auseinandersetzungen. In der Folge kam er noch auf drei andre Beweise, die 
zwar von jener Unbequemlichkeit frei sind, aber dagegen andre sehr tiefliegende 
und ihrem Inhalte nach ganz heterogene Untersuchungen voraussetzen: der eine 
dieser Beweise ist gleichfalls in dem angeführten Werke Art. 262 mitgetheilt, 
die beiden andern werden zu ihrer Zeit bekannt gemacht werden. Immer blieb 
also noch der Wunsch übrig, dass es möglich sein möchte, einen kürzern, von 
fremdartigen Untersuchungen unabhängigen, Beweis zu entdecken. Der Verf. 
hofft daher, dass die Freunde der hohem Arithmetik mit Vergnügen einen fünf 
ten Beweis sehen werden, der in gegenwärtiger Abhandlung auf weniger als fünf 
Seiten vorgetragen ist, und in jeder Hinsicht nichts zu wünschen übrig zu lassen 
scheint. Bei der gedrängten Kürze, worin dieser Beweis abgefasst ist, können 
wir freilich hier von dem Gange desselben nur eine unvollkommene Idee geben : 
mehr würde hier aber auch um so überflüssiger sein, da der XVIte Band der Com 
mentationes , worin er bereits abgedruckt ist, nächstens erscheinen wird. 
Die Grundlage des Beweises ist folgender neuer Lehrsatz: Wenn p eine 
(positive ungerade) Primzahl, k eine beliebige, durch p nicht theilbare, ganze 
Zahl bedeutet; wenn ferner unter den Besten, die aus der Division der 4>-{p — 1) 
Producte k, 1k, 3k ... . \ (p — 1 )k durch p entstehen, in allen sich g Beste be 
finden, die grösser als \p sind (also F(jP — 1)— P solche, die kleiner sind, als 
±p), so wird k ein quadratischer Best von p sein, wenn g gerade ist, hingegen 
ein quadratischer Nichtrest, wenn ¡a ungerade ist. Die Zahl g, die bloss von k 
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