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hingegen in dem Falle, wo n von der Form 4m-}-3 ist, die Summe der ersten
Reihe = 0 , und die der zweiten — -j-\Jn wird. Das der Wurzelgrösse vorzu-
setzende Zeichen hängt von dem Werthe der Zahl k oder vielmehr von dessen Re
lation zu n ab, und lässt sich leicht für alle Werthe von k bei einem gegebenen
Werthe von n bestimmen, sobald es für einen bestimmt ist. Man kann nemlich
zeigen, dass für alle Werthe von k, welche quadratische Reste von n sind, durch
aus einerlei Zeichen gilt, und dann das entgegengesetzte für alle diejenigen, die
quadratische Nichtreste von n sind. Da in dem angeführten Werke die Unter
suchung so weit bereits geführt, und nur die Bestimmung des Zeichens für irgend
einen Werth von k noch übrig war: so hätte man glauben sollen, dass nach Be
seitigung der Flauptsache diese nähere Bestimmung sich leicht würde ergänzen
lassen, um so mehr, da die Induction dafür sogleich ein äusserst einfaches Re
sultat gibt; für k = 1, oder für alle Werthe, welche quadratische Reste von
n sind, muss nemlich die Wurzelgrösse in obigen Formeln durchaus positiv ge
nommen werden. Allein bei der Aufsuchung des Beweises dieser Bemerkung tref
fen wir auf ganz unerwartete Schwierigkeiten, und dasjenige Verfahren, welches
so genugthuend zu der Bestimmung des absoluten Werths jener Reihen führte,
wird durchaus unzureichend befunden, wenn es die vollständige Bestimmung der
Zeichen gilt. Den metaphysischen Grund dieses Phänomens (um den bei den Fran
zösischen Geometern üblichen Ausdruck zu gebrauchen) hat man in dem Um
stande zu suchen, dass die Analyse bei der Theilung des Kreises zwischen den
Bögen w, 2o), 3co . . . (n — l) (o keinen Unterschied macht, sondern alle auf glei
che Art umfasst; und da hiedurch die Untersuchung ein neues Interesse erhält:
so fand Hr. Prof. G. hierin gleichsam eine Aufforderung, nichts unversucht zu
lassen, um die Schwierigkeit zu beseitigen. Erst nach vielen und mannigfalti
gen vergeblichen Versuchen ist ihm dieses auf einem auch an sich selbst merk
würdigen Wege gelungen. Er geht nemlich von der Summation einiger Reihen
aus, deren Glieder unter folgender Form begriffen sind:
(i — a**) (i — x m ~ l )(1 — X m -q... (i — x m -e+')
(l—x) (l — xx) (l — X 3 ) . . . . (l — x fl )
Bezeichnet man, der Kürze halber, eine solche Function durch m, ¡x), welche,
wie in der Abhandlung gezeigt wird, immer eine ganze Function von oc ist: so
brechen die Reihen