SUMMATIO QUARUMDAM SERIERUM SINGULARIUM. 
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1 — (m, 1)—j— [m, 2) — (m, 3) + etc. 
1 -\-x*[m, \)-\-x[m, 2)-\-x i [m r 3) —(— etc. 
nach dem w-}-l sten Gliede ab, insofern m eine ganze positive Zahl bedeutet, und 
die Summe der ersten Reihe wird für gerade Werthe von m 
= (l — x) (1—«? 3 )(1—x 5 ) . . . (1 — X Wl_1 ) 
und — 0 für ungerade Werthe von m\ hingegen die Summe der zweiten Reihe 
wird allemal 
— (1 —j—(1 —{— <2?) (l — 
Auch für gebrochene und negative Werthe von m führt die Summation dieser Rei 
hen auf interessante Resultate, obwohl dieselben zu der gegenwärtigen Absicht 
nicht nöthig sind: wir begnügen uns, nur eines derselben hier anzuführen. Die 
unendliche Reihe 
J —<2? -4— <2? 3 —j— —}— ¿i? 10 —|— etc. 
wo die Exponenten die Trigonalzahlen sind, ist das Product aus den Factoren 
1—XX 1—X 1 — X 1—X s 
X 5 X g X - 7 etc. 
1 — x 1 — x a 1 — x l — x 
oder, wenn man lieber will, aus 
{l-{-x) 2 {\ -\-xx) 2 (l-f-x 3 ) 2 (l-}-# 4 ) 2 etc. 
in 
(1—a?)(l — xx) (l — x s ) (1 — x‘) etc. 
Die Entwickelung der Art, wie diese Summationen auf den Hauptgegen 
stand angewandt werden, würde uns hier zu weit führen: wir dürfen die Leser 
um so eher auf diese selbst verweisen, da sie bald im Druck erscheinen wird. Jene 
oben angeführten Summationen sind nur eine specielle Anwendung von der Sum 
mation folgender Reihen: 
l-J-cos^w-l-coslÄ’iü-l-cosOA-to-l-etc. -f-cos(w — l) 2 £o> = T 
sinA’(o-j-sin4^co-f-sin9Ä'(«-|- etc. sin(w — l) 2 £o) = U 
welche in der Abhandlung für alle Werthe von k, und ohne die Einschränkung,