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dass n eine Primzahl sei, gelehrt wird. Es wird nämlich gezeigt, dass 
T=±\/n, T=±\Jn, T= 0, T= 0 
und 
U==±\Jn, U = 0, U — 0, U=±\Jn 
wird, je nachem % von der Form 4 m, 4m-f-l, 4—|— 2, 4m-\-‘6 resp. ist; das 
Zeichen der Wurzelgrösse hängt hier wiederum von k ab, und die die Unterschei 
dung vieler einzelner Fälle nöthig machende Bestimmung desselben auf zwei ver 
schiedenen Wegen wird so entwickelt und bewiesen, dass nichts zu wünschen 
übrig bleiben wird. Die Vergleichung dieser beiden Wege unter sich führt noch 
auf folgenden sehr merkwürdigen Fehrsatz: Wenn n das Product aus einer be 
liebigen Anzahl ungleicher ungerader Primzahlen a, b, c, d u. s.w. ist, unter wel 
chen sich zusammen ¡i, von der Form 4m-|-3 befinden; wenn ferner unter jenen 
Factoren zusammen v verkommen, von deren jedem das Product der übrigen 
(also resp. j, ~ , ~ u.s.w.) ein quadratischer Mchtrest ist; so wird v gerade 
sein, so oft {jl von der Form 4 m oder 4m-j-l ist, hingegen ungerade, so oft p 
von der Form 4m-(-2 oder 4^-f-3 ist. Von diesem Lehrsätze ist das bekannte 
Fundamental-Theorem bei den quadratischen Festen nur ein specieller Fall, sowie 
umgekehrt jener leicht aus diesem abgeleitet werden kann. Man sieht sich also 
durch diese Untersuchungen zugleich im Besitz von einem vierten Beweise dieses 
wichtigen Theorems, welches von dem Verf. zuerst auf zwei ganz verschiedenen 
Wegen in den Disquisitionibus Arithmeticis und auf einem dritten eben so verschie 
denen unlängst in einer eigenen Abhandlung bewiesen war.