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THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO PRIMA. 167 
lein die Unterscheidung, welcher dieser beiden Fälle eintrete, ist eine Untersu 
chung von viel höherer Art, und es werden dazu in der Abhandlung zwei ver 
schiedene Criterien entwickelt. 
Das erste Criterium hängt mit der Zerlegung der Zahl p in ein einfaches 
und ein doppeltes Quadrat zusammen, die bekanntlich (da, wie schon bemerkt 
ist, angenommen wird, dass p eine Primzahl sei) immer möglich und nur auf 
Eine Art möglich ist. Setzt man p=gg-\-2hh, so wird +2 ein biquadrati- 
scher Rest von p, wenn g von der Form 8 —f-1 oder 8 —f- 7, ein biquadrati- 
scher Nichtrest hingegen, wenn g von der Form 8 —{— 3 oder 8 tz —}— 5 ist. 
Das zweite Criterium hängt zusammen mit der Zerlegung der Zahl p in 
zwei Quadrate, die bekanntlich auch immer möglich und nur auf Eine Art mög 
lich ist. Setzt man p = ee-\-ff, und nimmt an, dass ee das ungerade, ff das 
gerade Quadrat bedeutet, so bringt schon die vorausgesetzte Form von p = 8w-J-l 
mit sich, dass auch \f eine gerade Zahl wird, also /entweder von der Form 
8 m oder von der Form 8m-f-4: im erstem Fall nun wird +2 biquadratischer 
Rest, im andern biquadratischer Nichtrest von p sein. 
Wir deuten hier nur die Bemerkung an, wozu die höhere Arithmetik so oft 
Gelegenheit gibt, dass nicht so wohl die Schönheit und Einfachheit der Theoreme 
selbst, als die Schwierigkeit ihrer Begründung sie vorzüglich merkwürdig macht. 
Sobald man einmal veranlasst ist, das Dasein eines Zusammenhanges zwischen 
dem Verhalten der Zahl + 2 und den beiden angeführten Zerlegungen der Zahl 
p zu verrauthen, ist es äusserst leicht, diesen Zusammenhang durch Induction 
wirklich zu entdecken. Allein schon bei dem ersten Criterium ist der Beweis da 
für nicht ganz leicht zu führen, viel tiefer versteckt liegt er aber bei dem zweiten, 
wo er mit anderweitigen subtilen Hülfsuntersuchungen innigst verkettet ist, die 
ihrerseits wieder zu einer merkwürdigen Erweiterung der Theorie der Kreisthei- 
lung führen. Diese wunderbare Verkettung der Wahrheiten ist es vorzüglich, 
was, wie man schon oft bemerkt hat, der höhern Arithmetik einen so eigenthüm- 
lichen Reiz gibt. Diese Begründungen selbst vertragen übrigens natürlich hier 
keinen Auszug, und müssen in der Abhandlung selbst nachgesehen werden. Al 
lein ein paar andere neue arithmetische Theoreme, welche gleichfalls mit der Be 
gründung des zweiten Criterium innigst verbunden sind, verdienen wohl, ihrer 
Einfachheit wegen, hier noch besonders herausgehoben zu werden. 
Wenn p eine Primzahl von der Form 4f— t ist, und = ee-\-ff ge-