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dieselbe nicht theilbar ist, da alle andere Fällen entweder für sich klar, oder auf 
diesen zurückzuführen sind. 
Für einen solchen gegebenen Werth von p zerfallen sämmtliche durch p 
nicht theilbare Zahlen in vier Klassen, wovon die eine die biquadratischen Reste, 
eine zweite solche biquadratische Nichtreste, die quadratische Reste von p sind, 
enthält, und in die beiden übrigen die biquadratischen Nichtreste, welche zu 
gleich quadratische Nichtreste sind, vertheilt werden. Das Princip dieser Ver- 
theilung besteht darin, dass allemal entweder k n —1, oder k n -\-1, oder k n —f, 
oder k n -\-f durch p theilbar sein wird, wo f eine ganze Zahl bedeutet, die 
durch p theilbar macht. Jeder, dem die elementarische Terminologie 
bekannt ist, sieht von selbst, wie diese Worterklärungen in dieselbe eingekleidet 
werden. 
Die Theorie dieser Classificirung nicht nur für den an der Oberfläche lie 
genden Fall k ——1, sondern auch für die, subtile Hülfsuntersuchungen er 
fordernden, Fälle k — + 2, findet sich in der ersten Abhandlung ganz vollendet. 
Im Anfang der gegenwärtigen Abhandlung wird nun zu grossem Werthen von k 
fortgeschritten: man braucht aber dabei zunächst nur solche in Betracht zu zie 
hen , die selbst Primzahlen sind, und der Erfolg zeigt, dass die Resultate am ein 
fachsten ausfallen, wenn man die Werthe positiv oder negativ nimmt, je nachdem 
sie, absolut betrachtet, von der Form 4m-f-l oder \m-\- 3 sind. Die Induction 
gibt hier sofort mit grosser Leichtigkeit eine reiche Ernte von neuen Lehrsätzen, 
wovon wir hier nur ein paar anführen. Die Numerirung der Classen mit 1, 2, 3, 4 
wird auf die Fälle bezogen, wo k n den Zahlen 1, f, — 1, — / congruent wird; 
zugleich ist für die Zahl f immer derjenige Werth angenommen, welcher a-\-hf 
durch p theilbar macht, wenn aa-\-bb die Zerlegung von p in ein ungerades 
und ein gerades Quadrat vorstellt. So findet sich durch die Induction, dass die 
Zahl —3 allemal zu der Classe 1, 2, 3, 4 gehört, je nachdem b, a-\~b, a, a — b 
durch 3 theilbar ist; dass die Zahl -[-5 der Reihe nach zu jenen Classen gehört, 
je nachdem b, a — b, a, a-\-b durch 5 theilbar ist; dass die Zahl —7 in die 
Classe 1 fällt, wenn a oder b\ in die Classe 2, wenn a — 2b oder a — 3b\ in 
die Classe 3, wenn a — b oder a-\-b; in die Classe 4, wenn a-{-2b oder a-j-3 6 
durch 7 theilbar ist. Aehnliche Theoreme ergeben sich in Beziehung auf die 
Zahlen —11, —|— 13, —f— 17, —19, —23 u.s.f. So leicht sich aber alle derglei 
chen specielle Theoreme durch die Induction entdecken lassen, so schwer scheint