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plexen Zahlen vier Einheiten —J— 1, —1, —(— —i. Zusammengesetzt heisst eine 
complexe ganze Zahl, wenn sie das Product aus zwei von den Einheiten verschie 
denen ganzen Factoren ist; eine complexe Zahl hingegen, die eine solche Zerle 
gung in Factoren nicht zulässt, heisst eine complexe Primzahl. So ist z. B. die 
reelle Zahl 3, auch als complexe Zahl betrachtet, eine Primzahl, während 5 als 
complexe Zahl zusammengesetzt ist = (1 —2 z) (1 — 2 i). Ehen so wie in der ho 
hem Arithmetik der reellen Zahlen spielen auch in dem erweiterten Felde dieser 
Wissenschaft die Primzahlen eine Hauptrolle. 
Wird eine complexe ganze Zahl a-\-bi als Modulus angenommen, so las 
sen sich aa-\-bb unter sich nicht congruente, und nicht mehrere, complexe Zah 
len aufstellen, von denen einer jede vorgegebene ganze complexe Zahl congruent 
sein muss, und die man ein vollständiges System incongruenter Beste nennen 
kann. Die sogenannten kleinsten und absolut kleinsten Beste in der Arithmetik 
der reellen Zahlen haben auch hier ihr vollkommenes Analogon. So besteht z. B. 
für den Modulus 1 —[— 2 i das vollständige System der absolut kleinsten Beste aus 
den Zahlen 0, 1, i, —1 und —i. Fast die sämmtlichen Untersuchungen der vier 
ersten Abschnitte der Disquisitiones Arithmeticae finden mit einigen Modifikationen, 
auch in der erweiterten Arithmetik ihren Platz. Das berühmte Fermatsche Theo 
rem z. B. nimmt hier folgende Gestalt an: Wenn a-\-bi eine complexe Prim 
zahl ist, und k eine durch jene nicht theilbare complexe Zahl, so ist immer 
■foaa+hb— i _ j für den Modulus a-\-bi. Ganz besonders merkwürdig ist es aber, 
dass das Fundamentaltheorem für die quadratischen Beste in der Arithmetik der 
complexen Zahlen sein vollkommenes, nur hier noch einfacheres, Gegenstück hat; 
sind nemlich a-\~bi, A-\-Bi complexe Primzahlen, so dass a und A ungerade, 
b und B gerade sind, so ist die erste quadratischer Best der zweiten, wenn die 
zweite quadratischer Best der ersten ist, hingegen die erste quadratischer Nicht 
rest der zweiten, wenn die zweite quadratischer Nichtrest der ersten ist. 
Indem die Abhandlung nach diesen Voruntersuchungen zu der Lehre von 
den biquadratischen Besten selbst übergeht, wird zuvörderst anstatt der blossen 
Unterscheidung zwischen biquadratischen Besten und Nichtresten eine Yerthei- 
lung der durch den Modulus nicht theilbaren Zahlen in vier Classen festgesetzt. 
Ist nemlich der Modulus eine complexe Primzahl a-{-bi, wo immer a ungerade, 
b gerade vorausgesetzt, und der Kürze wegen p statt aa-\-bb geschrieben wird, 
und k eine complexe durch a-\-bi nicht theilbare Zahl, so wird allemal