THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO SECUNDA. 173 
einer der Zahlen —J— 1, -\-i, —1, —i congruent sein, und dadurch eine Verthei- 
lung sämmtlicher durch a-\-hi nicht theilbarer Zahlen in vier Classen begrün 
det, denen der Reihe nach der biquadratische Character 0, 1, 2, 3 beigelegt wird. 
Offenbar bezieht sich der Character 0 auf die hiquadratischen Reste, die übrigen 
auf die hiquadratischen Nichtreste, und zwar so, dass dem Character 2 zugleich 
quadratische Reste, den Charactern 1 und 3 hingegen quadratische Nichtreste 
entsprechen. 
Man erkennt leicht, dass es hauptsächlich darauf ankommt, diesen Cha 
racter bloss für solche Werthe von k bestimmen zu können, die selbst complexe 
Primzahlen sind, und hier führt sogleich die Induction zu höchst einfachen Re 
sultaten. 
Wird zuerst k— 1 -j-i gesetzt, so zeigt sich, dass der Character dieser 
Zahl allemal = £(-—aa-\-2ab—3bb-\-i) (mod. 4) wird, und ähnliche Ausdrücke 
finden sich für die Fälle k = 1—i, k = 1 —}— z, k = —1—i. 
Ist hingegen k = a-\-'6i eine solche Primzahl, wo a ungerade und h ge 
rade ist, so ergibt sich durch die Induction sehr leicht ein dem Fundamentaltheo 
rem für die quadratischen Reste ganz analoges Reciprocitätsgesetz, welches am 
einfachsten auf folgende Art ausgedrückt werden kann : 
Wenn sowohl ot-j-6 — 1 als a-\-h — l durch 4 theilbar sind (auf welchen 
Fall alle übrigen leicht zurückgeführt werden können), und der Character der Zahl 
ot-j-in in Beziehung auf den Modulus a-\-bi durch X, hingegen der Character 
von a-\-bi in Beziehung auf den Modulus a-j-fn durch l bezeichnet wird: so 
ist 1 = 1, wenn zugleich eine der Zahlen d, b (oder beide) durch 4 theilbar ist, 
hingegen X = Z+2, wenn keine der Zahlen h, b durch 4 theilbar ist. 
Diese Theoreme enthalten im Grunde alles Wesentliche der Theorie der bi- 
quadratischen Reste in sich: so leicht es aber war, sie durch Induction zu ent 
decken , so schwer ist es, strenge Beweise für sie zu geben, besonders für das 
zweite, das Fundamentaltheorem der hiquadratischen Reste. Wegen des grossen 
Umfanges, zu welchem schon die gegenwärtige Abhandlung angewachsen ist, sah 
sich der Verfasser genöthigt, die Darstellung des Beweises für das letztere Theo 
rem, in dessen Besitz er seit 20 Jahren ist, für eine künftige dritte Abhandlung 
zurückzulassen. Dagegen ist in vorliegender Abhandlung noch der vollständige 
Beweis für das erstere die Zahl 1 —j— z betreffende 'Theorem (von welchem die an-