THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO SECUNDA. 1.77 
im Raume bringen, und der einfachste Fall ist, wo kein Grund vorhanden ist, 
die Symbole der Gegenstände anders als quadratisch anzuordnen, indem man nem- 
lich eine unbegrenzte Ebene durch zwei Systeme von Parallellinien, die einander 
rechtwinklig durchkreuzen, in Quadrate vertheilt, und die Durchschnittspunkte 
zu den Symbolen wählt. Jeder solche Punkt A hat hier vier Nachbaren, und 
wenn man die Relation des A zu einem benachbarten Punkte durch -f-1 bezeich 
net, so ist die durch —l zu bezeichnende von selbst bestimmt, während man, 
welche der beiden andern man will, für -f-i wählen, oder den sich auf -\-i be 
ziehenden Punkt nach Gefallen rechts oder links nehmen kann. Dieser Unter 
schied zwischen rechts und links ist, so bald man vorwärts und rückwärts in der 
Ebene, und oben und unten in Beziehung auf die beiden Seiten der Ebene einmal 
(nach Gefallen) festgesetzt hat, in sich völlig bestimmt, wenn wir gleich unsere 
Anschauung dieses Unterschiedes andern nur durch Nach Weisung an wirklich vor 
handenen materiellen Dingen mittheilen können*). Wenn man aber auch über 
letzteres sich entschlossen hat, sieht man, dass es doch von unserer Willkür ab 
hing, welche von den beiden in Einem Punkte sich durchkreuzenden Reihen wir 
als Hauptreihe, und welche Richtung in ihr man als auf positive Zahlen sich be 
ziehend ansehen wollten; man sieht ferner, dass wenn man die vorher als -f- i be 
handelte Relation für -[-1 nehmen will, man nothwendig die vorher durch —l 
bezeichnete Relation für -f-i nehmen muss. Das heisst aber, in der Sprache der 
Mathematiker, -\-i ist mittlere Proportionalgrösse zwischen -}-l und —1 oder 
entspricht dem Zeichen \J—1: wir sagen absichtlich nicht die mittlere Proportio 
nalgrösse , denn — i hat offenbar gleichen Anspruch, Hier ist also die Nach 
weisbarkeit einer anschaulichen Bedeutung von \J — 1 vollkommen gerechtfertigt, 
und mehr bedarf es nicht, um diese Grösse in das Gebiet der Gegenstände der 
Arithmetik zuzulassen. 
Wir haben geglaubt, den Freunden der Mathematik durch diese kurze Dar 
stellung der Hauptmomente einer neuen Theorie der sogenannten imaginären 
Grössen einen Dienst zu erweisen. Etat man diesen Gegenstand bisher aus einem 
falschen Gesichtspunkt betrachtet und eine geheimnissvolle Dunkelheit dabei ge- 
*) Beide Bemerkungen hat schon Kant gemacht, aber man begreift nicht, Avie dieser scharfsinnige 
Philosoph in der ersteren einen BeAveis für seine Meinung, dass der Baum nur Form unserer äussern Anschau 
ung sei, zu finden glauben konnte, da die ZAveite so klar das Gegentheil, und dass der Raum unabhängig von 
unserer Anschauungsart eine reelle Bedeutung haben muss, beAveiset. 
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