SERIERUM SINGULARIUM. 
23 
- etc. -(- cos [n — 1 fAuo 
-etc. -J-sinfw— 1) 3 A’(jd 
\- cos (n — I ) 2 k(o 
(- sin in — if A-co 
sunt, pendere a summa- 
ionem nostram his adap- 
valores primos ipsius n, 
autem supponemus ad n 
iivisorem communem ha- 
i, statuarnusque 
0. Facile perspicietur, 
isibiles atque inter se se 
nus r 
x n —1=0 satisfacient, 
is x n — 1 = 0 repraesen- 
qmunem haberet cum n. 
i divisibilis, adeoque po 
lice itaque casu potesta- 
= 0 exhibebunt, et qui- 
immunis maximus nume- 
rorum k, n. In casu nostro, ubi k et n supponuntur inter se primi, r com 
mode dici potest radix propria aequationis x n —1=0: contra in casu altero, ubi 
k et n haberent divisorem communem (maximum) v, r vocaretur radix impropria 
illius aequationis, manifesto autem tunc eadem r foret radix propria aequatio 
nis x^—1 = 0. Eadix impropria simplicissima est unitas, in eoque casu, ubi n 
est numerus primus, impropriae aliae omnino non dabuntur. 
1 2. 
Quodsi iam statuimus 
W = 1 —j— r —i' 4 —|-r 9 -{- etc. -j-r( n ~ y y 
patet fieri W = T-f- i U, adeoque T esse partem realem ipsius W, atque U 
prodire ex parte imaginaria ipsius W factore i suppresso. Totum itaque nego 
tium reducitur ad inventionem summae W: ad hunc finem vel series in art. 0 
considerata, vel ea quam in art. 9 summare docuimus, adhiberi potest, prior ta 
men minus idonea est in casu eo, ubi n est numerus par. Nihilominus lectoribus 
gratum fore speramus, si casum eum, ubi n impar est, secundum methodum du 
plicem tractemus. 
Supponamus itaque primo, n esse numerum imparem, r designare radicem 
propriam aequationis x n —1 = 0 quamcunque, et in functione f{x, m) statui 
x = r, atque m = n — 1. Hinc patet fieri 
usque ad 
(Haud superfluum erit monere, has aequationes eatenus tantum valere, quatenus 
r supponitur radix propria: si enim esset r radix impropria, in quibusdam illa 
rum fractionum numerator et denominator simul evanescerent, adeoque fractio 
nes indeterminatae fierent). 
Hinc deducimus aequationem sequentem