SERIEEUM SINGULARIUM. 
31 
W = 2*”p*”cos4-w costo cos-f-to .... cos(^%—l)to 
Cosinus in hoc productum ingredientes manifesto omnes positivi sunt, factor 
autem fit = cos45°-(-¿sin45° = (l-f-i)\/f. Hinc colligimus, W esse productum 
ex i_j-i in quantitatem realem positivam, unde necessario esse debebit 
W = (1+t) \Jn, T = + \J n, 17 = + 
19. 
Operae pretium erit, omnes summationes hactenus evolutas, hic in unum 
conspectum colligere. Generaliter scilicet est 
T = 
u= 
prout n est formae 
H\z\Jn 
-\r\¡n 
4p 
±\Jn 
0 
4^+1 
0 
0 
4{A+2 
0 
4p + 3 
et in casu eo, ubi k supponitur = 1, quantitati radicali signum positivum tri 
bui debet. Omni itaque iam rigore ea, quae pro valoribus primis ipsius n in art. 3 
per inductionem animadverteramus, demonstrata sunt, nihilque superest, nisi ut 
signa pro valoribus quibuscunque ipsius k in omnibus casibus determinare docea 
mus. Sed antequam hoc negotium in omni generalitate aggredi liceat, primo ca 
sus eos, ubi n est numerus primus vel numeri primi potestas, propius conside 
rare oportebit. 
20. 
Sit primo n numerus primus impar, patetque per ea, quae in art. 10 ex 
posuimus, esse W = l+2Sr® = 1-f- 2 1R ak , si statuatur R = costo -(-¿sina), 
denotante a ut illic indefinite omnia residua quadratica ipsius n inter 1 et n — 1 
contenta. Quodsi quoque per h indefinite omnia non-residua quadratica inter 
eosdem limites exprimimus, nullo negotio perspicitur, omnes numeros a k con 
gruos fieri secundum modulum n vel omnibus a vel omnibus h (nullo ordinis re 
spectu habito), prout k vel residuum sit vel non-residuum. Quamobrem in casu 
priori erit