54 
THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS 
similique ratione etiam erit 
6 + 7 = 1){M—1) 
lunetis omnibus numeris classium II, IV, VI, manifesto habebimus omnes 
numeros infra \mM, qui alicui residuo ex F' secundum modulum M congrui 
sunt. lidem vero numeri ita quoque exhiberi possunt: 
F\ M+F\ 2M+F', *M+F'. . . .*(«» —3)Jf+.F' 
unde omnium multitudo erit = |-(m — 1) [M— 1), sive habebimus 
6 + d + ^= i{m—1){M— 1) 
Perinde e iunctione omnium classium III, IV, VIII colligere licet 
y + c) + w = 4(m-—l ){M—1) 
Ex his quatuor aequationibus oriuntur sequentes: 
2a — \{m — 1 ){M—l) + w + A T 
2 6 == 4( m —1) [M—1) + n — N 
2y = —1 ){M—l) — n-\-N 
2 S = 4 (m — 1) [M—1) — n — N 
quarum quaelibet theorematis veritatem monstrat. 
3. 
Quodsi iam supponimus, m et M esse numeros primos, e combinatione 
theorematis praecedentis cum lemmate art. I theorema fundamentale protinus de 
manabit. Patet enim, 
I. quoties uterque m, M, sive alteruter tantum, sit formae 4A* + 1, nu 
merum 4 + — 1) [M—1) fore parem, adeoque n et N vel simul pares vel simul 
impares, et proin vel utrumque m et M alterius residuum quadraticum, vel utrum 
que alterius non-residuum quadraticum. 
II. Quoties autem uterque m, M est formae 4A-+3, erit \[m — i)[M—1) 
impar, hinc unus numerorum n, N par, alter impar, et proin unus numerorum 
m, M alterius residuum quadraticum, alter alterius non-residuum quadraticum. 
Q. E. D.