>UIS QUADRATICS 
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE. 
55 
iiiifesto habebimus omnes 
im modulum M congrui 
— 3 
habebimus 
igere licet 
7 
7 
J 
\ T 
primos, e combinatione 
mdamentale protinus de 
sit formae 4 k -j-1, nu- 
vel simul pares vel simul 
i quadraticum, vel utrum- 
- 3, erit \ [m — 1) [M— 1) 
b proin unus numerorum 
n-residuum quadraticum. 
THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN THEORIA RESIDUORUM QUADRATICORUM 
DEMONSTRATIO SEXTA. 
1. 
Theorema. Designante p numerum pronum [positivum imparem), n integrum 
positivum per p non divisibilem, x quantitatem indeterminatam, functio 
l + a? w +a? 2w +a? Sw + etc. -\-x np ~ n 
divisibilis erit per 
i-fxf-xx-fx^f- etc, -\-x p ~ 1 
Demonstr. Accipiatur integer positivus g ita ut fiat gn= 1 (mod. p), 
statuaturque gn — 1 -\-hp. Tunc erit 
ix 2n + x 3n -p etc. -(- x np ~ n (l — x np ) (l—x) (l—x np ){l—x gn — x-\-x hp+l ) 
i + x + xx + x 3 + etc. + x p ~* [\ — x n ){\—x p ) (l— x n ) (l—x p ) 
\—x np \ — x'J n x(l—x np ) 1 — x hp 
l—x p 1—x n 1—x n 1—x p 
adeoque manifesto functio integra. Q. E. D. 
Quaelibet itaque functio integra ipsius x per 
# m 9 # # £ jP 
visibilis erit per - 
j x np 
— divisibilis, etiam di- 
1 — x n 
2, 
Designet a radicem primitivam positivam pro modulo p, i. e. sit a integer 
positivus talis, ut residua minima positiva potestatum 1, a, aa, a 3 a p ~~ l 
secundum modulum p sine respectu ordinis cum numeris 1, 2, 3, 4 p — l 
identica fiant. Designando porro per fx functionem 
x x a -j- x rm -f - x a * -f- etc. -)- x^ * -j-1 
patet, fx—1 — x—xx — X*— etc. —x p ~ 1 divisibilem fore per 1 — x p , adeoque 
a potiori per ~~r = i + + etc - per quam itaque functio 
nem ipsa quoque fx divisibilis erit. Hinc vero sequitur, quum x exprimat quan- 
J ..... 1 x np • / 
titatem indeterminatam, esse quoque f[x 11 ) divisibilem per et prom (art. 
praec.) etiam per f—, quoties quidem n sit integer per p non divisibilis. Con 
tra, quoties n est integer per p divisibilis, singulae partes functionis f[x n ) uni-