68
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
tatione disquisitiones eas explicabimus, quas iam cis campum Arithmeticae am
pliatum absolvere licuit, quae illuc viam quasi sternunt, simulque theoriae divi
sionis circuli quaedam nova incrementa adiungunt.
2.
Notionem residui biquadratici in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115 intro
duximus : scilicet numerus integer «, positivus seu negativus, integri p residuum
biquadraticum vocatur, si a secundum modulum p biquadrato congruus fieri pot
est , et perinde non-residuum biquadraticum, si talis congruentia non exstat. In
omnibus disquisitionibus sequentibus, ubi contrarium expressis verbis non mone
tur, modulum p esse numerum primum (imparem positivum) supponemus, atque a
per p non divisibilem, quum omnes casus reliqui ad hunc facillime reduci possint.
3.
Manifestum est, omne residuum biquadraticum numeri p eiusdem quoque
residuum quadraticum esse, et proin omne non-residuum quadraticum etiam non-
residuum biquadraticum. Hanc propositionem etiam convertere licet, quoties p
est numerus primus formae 4w-f-3. Nam si in hoc casu a est residuum quadra
ticum ipsius p, statuamus a = bb (mod. p), ubi b vel residuum quadraticum
ipsius p erit vel non-residuum: in casu priori statuemus b = cc, unde a = c 4 ,
i. e. a erit residuum biquadraticum ipsius p; in casu posteriori — b fiet residuum
quadraticum ipsius p (quoniam —1 est non-residuum cuiusvis numeri primi for
mae 4 —f- 3), faciendoque —b^cc, erit ut antea a=c\ atque a residuum
biquadraticum ipsius p. Simul facile perspicietur, alias solutiones congruentiae
<2? 4 = a (mod. p), praeter has duas x = c et x = — c in hoc casu non dari.
Quum hae propositiones obviae integram residuorum biquadraticorum theoriam
pro modulis primis formae 4 ^ 3 exhauriant, tales modulos a disquisitione no
stra omnino excludemus, sive hanc ad modulos primos formae 4/z —|—1 limitabimus.
4.
Existente itaque p numero primo formae 4 (—1, propositionem art. praec.
convertere non licet: nempe exstare possunt residua quadratica, quae non sunt
simul residua biquadratica, quod evenit, quoties residuum quadraticum congruum
est quadrato non-residui quadratici. Statuendo enim a = bb, existente 6 non-