COMMENTATIO PRIMA. 
69 
residuo quadratico ipsius p, si congruentiae x' 1 = a satisfieri posset, per vaio- 
rem x eee c, foret c l ~bb, sive productum [cc—b) {cc-\-b) per p divisibile, 
unde p vel factorem cc — b vel alterum cc-\-b metiri deberet, i. e. vel -\-b 
vel —b foret residuum quadraticum ipsius p, et proin uterque (quoniam —1 est 
residuum quadraticum), contra hyp. 
Omnes itaque numeri integri per p non divisibiles in tres classes distribui 
possent, quarum prima contineat residua biquadratica, secunda non-residua biqua 
dratica ea, quae simul sunt residua quadratica, tertia non-residua quadratica. Ma 
nifesto sufficit, tali classificationi solos numeros 1, 2, 3 p—1 subiicere, quo 
rum semissis ad classem tertiam reduceretur, dum altera semissis inter classem 
primam et secundam distribueretur. 
5. 
Sed praestabit, quatuor classes stabilire, quarum indoles ita se habeat. 
Sit A complexus omnium residuorum biquadraticorum ipsius p, inter 1 et 
p—1 (inclus.) sitorum, atque e non-residuum quadraticum ipsius p ad arbitrium 
electum. Sit porro B complexus residuorum minimorum positivorum e productis 
e A secundum modulum p oriundorum, et perinde C, D resp. complexus residuo 
rum minimorum positivorum e productis e e A, e % A secundum modulum p pro 
deuntium. His ita factis facile perspicitur, singulos numeros B inter se diversos 
fore, et perinde singulos C, nec non singulos D; cifram autem inter omnes hos 
numeros occurrere non posse. Porro patet, omnes numeros, in A et C conten 
tos, esse residua quadratica ipsius p, omnes autem in B at D non-residua qua 
dratica, ita ut certe complexus A, C nullum numerum cum complexu B vel D 
communem habere possint. Sed etiam neque A cum (7, neque B cum D ul 
lum numerum communem habere potest. Supponamus enim 
I. numerum aliquem ex A, e. g, a etiam in C inveniri, ubi prodierit e pro 
ducto e ea'ipsi congruo, existente a' numero e complexu A. Statuatur a~ a 4 , 
a' = a" 1 , accipiaturque integer 0 ita, ut fiat 0a'= 1. His ita factis erit 
e e a 4 — a 4 , adeoque multiplicando per B 4 , 
e e = a 4 0 4 
i. e. e e residuum biquadraticum, adeoque e residuum quadraticum, contra hyp.