72 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
ad 
residua minima 
numerorum 
A 
h / 3 - 
B 
9. 
C 
99> 9 6 . /°> 9 U • 
D 
/> 9 15 - 
■ ■ ■ s*-* 
Hinc omnes propositiones praecedentes sponte demanant. 
Ceterum sicuti hic numeri 1, 2, 3 ... .p— 1 in quatuor classes distributi 
sunt, quarum complexus per A, B, C, D designamus, ita quemvis integrum per 
p non divisibilem, ad normam ipsius residui minimi secundum modulum p, ali 
cui harum classium adnumerare licebit. 
9. 
Denotabimus per f residuum minimum potestatis secundum modu 
lum p, unde quum fiat ff = g^ p ~^ = —i [Disquis. Arithm. art. 62), patet, cha 
racterem f hic idem significare quod in art. 6. Potestas itaque, deno 
tante X integrum positivum, congrua erit secundum modulum p numero l, f ’, 
— 1, —/, prout X formae 4m, Am-\-\, 4m-j-2, 4m —J— 3 resp., sive prout resi 
duum minimum ipsius g L in A, B, C, D resp. reperitur. Hinc nanciscimur cri- 
terium persimplex ad diiudicandum, ad quam classem numerus datus h per p non 
divisibilis referendus sit; pertinebit scilicet h ad A, B, C vel D, prout potestas 
/¿40—0 secundum modulum p numero 1, f, —1 vel —f congrua evadit. 
Tamquam corollarium hinc sequitur, —1 semper ad classem A referri, quo 
ties p sit formae 8^-j-l, ad classem C vero, quoties p sit formae 8w-f-5. De 
monstratio huius theorematis a theoria residuorum potestatum independens ex iis, 
quae in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115, III docuimus, facile adornari potest. 
10. 
Quum omnes radices primitivae pro modulo p prodeant e residuis potesta 
tum g 1 ', accipiendo pro X omnes numeros ad p — 1 primos, facile perspicitur, il 
las inter complexus B et D aequaliter dispertitas fore, basi g semper in B con 
tenta. Quodsi loco numeri g radix alia primitiva e complexu B pro basi accipi 
tur, classificatio eadem manebit; si vero radix primitiva e complexu D tamquam 
basis adoptatur, classes B et D inter se permutabuntur.