—-y- - 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
21 
Postquam problema nostrum solvimus, ad disquisitionem principalem re 
vertimur, determinationem completam complexus, ad quem numerus 2 pertinet, 
iam aggressuri. 
I. Quoties p est formae 8^ —{— 3, iam constat, numerum 2 vel in com 
plexu A vel in complexu C inveniri. In casu priori facile perspicitur, etiam nu 
meros -|-(p—1), t(|>-f-1) ad -A pertinere, in posteriori vero ad C. Iam perpen 
damus, si a et a-f-1 sint numeri contigui complexus A, etiam p — a — 1, p — a 
tales numeros esse, sive, quod idem est, numeros complexus A tales, quos se 
quatur numerus ex eodem complexu, binos semper associatos esse, (a et p—1—a). 
Talium itaque numerorum multitudo, (00), semper erit par, nisi quis exstat sibi 
ipse associatus, i. e. nisi \[p— l) ad A pertinet, in quo casu multitudo illa im 
par erit. Hinc colligimus, (00) imparem esse, quoties 2 ad complexum A, pa 
rem vero, quoties 2 ad C pertineat. Sed habemus 
16 (00) = aa-j-bb— 6 a —11 
sive statuendo a = 4 q-j-l, b — 4r (v. art. 14), 
(00) — qq — q —|— vv — 1 
Quoniam igitur qq — q manifesto semper par est, (00) impar erit vel par, prout 
r par est vel impar, adeoque 2 vel ad A vel ad C pertinebit, prout b est vel 
formae 8m vel formae 8m-(-4. Quod est ipsum theorema, in art. 14 per in 
ductionem inventum. 
II. Sed etiam casum alterum, ubi p est formae 8tz —|— 5 , aeque complete 
absolvere licet. Numerus 2 hic vel ad B, vel ad D pertinet, perspiciturque fa 
cile, in casu priori \[p — 1) ad B, -¡J-Qo+t) ad D, in casu posteriori autem 
4-[p — 1) ad H, t(|^ + 1) ad B pertinere. Iam perpendamus, si d sit numerus 
ex B talis, quem sequatur numerus ex D, fore etiam numerum, p — 6 — 1 ex 
B atque p — b ex D, i. e, numeros illius proprietatis binos associatos semper 
adesse. Erit itaque illorum multitudo, (13), par, excepto casu, in quo unus eo 
rum sibi ipse associatus est, i. e. ubi T(P—1) ad B, ad D pertinet; 
tunc scilicet (13) impar erit. Hinc colligimus, (13) parem esse, quoties 2 ad D, 
imparem vero, quoties 2 ad B pertineat. Sed habemus 
16 (13) — u o. —j—■ b b —J— 2 q —(— 4 b —(— 1