SECTIO OCTAVA.
513
372.
Si n est numerus primus (impar), residua m consistent ex cifra, pro qua
M = 1, et ex %(n — 1) aliis numeris, pro quibus M — 2. Designando haec re
sidua (excluso residuo 0) indefinite per ¡x, erit progressio nostra = 1 —J— 2 2r*\
Porro si per v designantur indefinite omnes reliqui numeri infra n, quorum mul
titudo quoque erit 4-{n — 1) et qui omnia non-residua quadratica ipsius n infra n
complectentur, manifesto erit
1-f- 2 r^-f-2 r* — 1 -j- r -\-r r -)- r 3 .... -J- r n ~ l — = 0
Quare ponendo summam progressionis nostrae sive 1 -f- 2 2?^ = A, erit
l-[-2 2r v — —A, nec non 2 r [J ‘ — 2r v = A.
Per art. 3 56 fit itaque A = + ve ^ iV— n * P rou f w est =1 vel
= 3 (mod. 4). Sed signum radicis hinc nondum determinatur.
Si in progressione nostra, quam per 11 designabimus, pro r substituitur alia
similis radix aequationis x n —1 == 0, puta r' = r x , supponamus inde prodire IT.
373.
Si n est quadratum altiorve potestas numeri primi, puta = p 71 , residua m
quaedam consistent e numeris per p non divisibilibus, alia erunt divisibilia per
pp neque per altiorem potestatem ipsius p, alia per p 4 neque vero per p 5 dividi
poterunt et sic porro usque ad ea quae per p Tl ~ 2 neque vero per p 71-1 divisibilia
sunt, sive per p"~ 1 neque vero per p Tl , prout tt par est sive impar; his denique
accedit residuum 0, quod est unicum per p 71 divisibile (conf. art. 102). lam de
signando per (x indefinite residua quadratica numeri p infra p cifra exclusa (quo
rum multitudo = — l), illae diversae residuorum classes sequenti modo ex
hibebuntur. Prima, quae per p non sunt divisibilia, repraesentantur per jx —J-kp,
ubi pro k substituendi sunt omnes integri a 0 usque ad p~~ l —1, ita ut omnium
residuorum in hac forma contentorum multitudo sit — %[p—1 )p !Z ~~ l \ pro his sin
gulis fit M = 2. Summa autem omnium terminorum in II his residuis respon
dentium erit
= 2 2^+^ — 2 2r* A ,2r^ > — 22^.^—- = 0
r p —i
Secunda residuorum classis exhibebitur per \ipp-\-kp 5 ubi pro k substituendi
sunt omnes integri a 0 usque ad p r ~^—1 ita ut omnium residuorum in hac
II. 79