OMNEM FUNCTIONEM ALGEBEAICAM ETC. 
beat, patet, per continuationem huius operationis functionem X tandem in facto 
res reales simplices vel duplices resolutum iri, aut, si pro singulis factoribus 
realibus duplicibus binos imaginarios simplices adhibere mavis, in m factores 
simplices. 
5. 
Prima theorematis demonstratio illustri geometrae d’Alembert debetur, Re 
cherches sur le calcul intégral, Histoire de T Acad, de Berlin, Année 1746. 
p. 182 sqq. Eadem extat in Bougainville, Traité du calcul intégral, à Paris 17 54. 
p. 47 sqq. Methodi huius praecipua momenta haec sunt. 
Primo ostendit, si functio quaecunque X quantitatis variabilis x fiat 0 
aut pro x = 0 aut pro x = oo, atque valorem infinite parvum realem positi 
vum nancisci possit tribuendo ipsi x valorem realem : hanc functionem etiam va 
lorem infinite parvum realem negativum obtinere posse per valorem ipsius x vel 
realem vel sub forma imaginaria p-\-q\J—1 contentum. Scilicet designante Q 
valorem infinite parvum ipsius X, et io valorem respondentem ipsius x, asserit 
tu per seriem valde convergentem —j— 6Q 6 —J— cQT ctc. exprimi posse, ubi ex 
ponentes a, fi, q etc. sint quantitates rationales continuo crescentes, et quae adeo 
ad minimum in distantia certa ab initio positivae evadant, terminosque, in qui 
bus adsint, infinite parvos reddant. lam si inter omnes hos exponentes nullus 
occurrat, qui sit fractio denominatoris paris, omnes terminos seriei reales fieri tum 
pro positivo tum pro negativo valore ipsius Q ; si vero quaedam fractiones deno 
minatoris paris inter illos exponentes reperiantur, constare, pro valore negativo 
ipsius Q terminos respondentes in forma p-\-qV—f contentos esse. Sed prop 
ter infinitam seriei convergentiam in casu priori sufficere, si terminus primus (i. e. 
maximus) solus retineatur, in posteriori ultra eum terminum, qui partem imagi 
nariam primus producat, progredi opus non esse. 
Per similia ratiocinia ostendi posse, si X valorem negativum infinite par 
vum ex valore reali ipsius x assequi possit: functionem illam valorem realem 
positivum infinite parvum ex valore reali ipsius x vel ex imaginario sub forma 
p-\-q\j— 1 contento adipisci posse. 
Hinc secundo concludit, etiam valorem aliquem realem finitum ipsius X 
dari, in casu priori negativum, in posteriori positivum, qui ex valore imaginario 
ipsius x sub forma p-\-q\j—1 contento produci possit.