DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS 
Hinc sequitur, si X sit talis functio ipsius x, quae valorem realem V 
ex valore ipsius x reali v obtineat, atque etiam valorem realem quantitate in- 
tinite parva vel maiorem vel minorem ex valore reali ipsius x assequatur, eandem 
etiam valorem realem quantitate infinite parva atque adeo finita vel minorem vel 
maiorem quam V (resp.) recipere posse, tribuendo ipsi x valorem sub forma 
p-\-q\j—1 contentum. Hoc nullo negotio ex praecc. derivatur, si pro X sub 
stitui concipitur V-\-Y, et pro x, v-\-y. 
Tandem affirmat ill. d’Alembert, si X totum intervallum aliquod inter duos 
valores reales R, S percurrere posse supponatur (i. e. tum ipsi R, tum ipsi S, 
tum omnibus valoribus realibus intermediis aequalis fieri), tribuendo ipsi x valo 
res semper in forma p-\-q\J—1 contentos; functionem X quavis quantitate fi 
nita reali adhuc augeri vel diminui posse (prout S^>R vel S<^R), manente x 
semper sub forma p-\-q\j—1. Si enim quantitas realis U daretur (inter quam 
et R supponitur S iacere), cui X per talem valorem ipsius x aequalis fieri non 
posset, necessario valorem maximum ipsius X dari (scilicet quando S^>R; mi 
nimum vero, quando S<C,R), puta T, quem ex valore ipsius x, p-{-q\/—1, 
consequeretur, ita ut ipsi x nullus valor sub simili forma contentus tribui posset, 
qui functionem X vel minimo excessu propius versus U promoveret. lam si in 
aequatione inter X et x pro x ubique substituatur p-\-q\!—1, atque tum pars 
realis, tum pars, quae factorem \j—1 implicet, hoc omisso, cifrae aequentur: 
ex duabus aequationibus hinc prodeuntibus (in quibus p, q et X cum constanti 
bus permixtae occurrent) per eliminationem duas alias elici posse, in quarum al 
tera j), X et constantes reperiantur, altera a p libera solas q, X et constantes 
involvat. Qamobrem quum X per valores reales ipsarum p, q omnes valores ab 
R usque ad T percurrerit, per praecc, X versus valorem U adhuc propius acce 
dere posse tribuendo ipsius p, q valores tales cc —|— y \/—1, €-J-6\/—1 resp. Hinc 
vero fieri x = a — ^ + (7 + ^)V— 1 » i- e - adhuc sub forma p-\-q\j—I esse, con 
tra hyp. 
lam si X functionem talem ut x m -(- Ax m ~ l -f- Bx m ~' -(- etc. M deno 
tare supponitur, nullo negotio perspicitur, ipsi x tales valores reales tribui posse, 
ut X totum aliquod intervallum inter duos valores reales percurrat. Quare x 
valorem aliquem sub forma p-\-q\j—1 contentum talem etiam nancisci poterit, 
unde X fiat — 0. Q. E. D. *) 
*) Observare convenit, ill. d’Alembert in sua huius demonstrationis expositione considerationes geome