10 
DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS 
secundum cuius potestates progrediuntur, tribuatur, nihilominus semper diver-- 
gant, ita ut si modo satis longe continuentur, ad terminos quavis quantitate data 
maiores pervenire possis *). Hoc evenit, quando coeficientes seriei progressionem 
hypergeometricam constituunt. Quamobrem necessario demonstrari debuisset, ta 
lem seriem hypergeometricam in casu praesenti provenire non posse. 
Ceterum mihi videtur, ili. d’A. hic non recte ad series infinitas confugisse, 
hasque ad stabiliendum theorema hoc fundamentale doctrinae aequationum haud 
idoneas esse. 
4. Ex suppositione, X obtinere posse valorem S neque vero valorem U, 
nondum sequitur, inter S et U necessario valorem T iacere, quem X attingere 
sed non superare possit. Superest adhuc alius casus: scilicet fieri posset, ut in 
ter S et U limes situs sit, ad quem accedere quidem quam prope velis possit X, 
ipsum vero nihilominus numquam attingere. Ex argumentis ab ili. d’A, allatis 
tantummodo sequitur, X omnem valorem, quem attigerit, adhuc quantitate 
finita superare posse, puta quando evaserit = S, adhuc quantitate aliqua finita 
Q augeri posse; quo facto, novum incrementum Q' accedere, tunc iterum augmen 
tum Q" etc., ita ut quotcumque incrementa iam adiecta sint. nullum pro ultimo 
haberi debeat, sed semper aliquod novum accedere possit. At quamvis multitudo 
incrementorum possibilium nullis limitibus sit circumscripta: tamen utique fieri 
posset, ut si incrementa Q, Q', Q"etc. continuo decrescerent, nihilominus summa 
etc. limitem aliquem numquam attingeret, quotcunque termini 
considerentur. 
Quamquam hic casus occurrere non potest, quando X designat functionem 
algebraicam integram ipsius oc: tamen sine demonstratione, hoc fieri non posse, 
methodus necessario pro incompleta habenda est. Quando vero X est functio 
transscendens, sive etiam algebraica'fracta, casus ille utique locum habere potest, 
e. g. semper quando valori cuidam ipsius X valor infinite magnus ipsius x respon- 
*) Hacce occasione obiter adnoto, ex harum serierum numero plurimas esse, quae primo aspectu maxime 
convergentes videantur, e. g. ad maximam partem eas, quibus ili. Eulee in parte poster. Inst. Cale. Biff. 
Cap. VI. ad summam aliarum serierum quam proxime assignandam utitur p. 441—47 4 (reliquae enim series 
p. 47 5—47 8 revera convergere possunt), quod, quantum scio, a nemine hucusque observatum est. Quocirca 
magnopere optandum esset, ut dilucide et rigoroso ostenderetur, cur huiusmodi series, quae primo citissime, 
dein paullatim lentius lentiusque convergunt, tandemque magis magisque divergunt, nihilominus summam 
proxime veram suppeditent, si modo non nimis multi termini capiantur, et quousque talis summa pro exacta 
tuto haberi possit ?