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Vorzüglich merkwürdig ist der Fall, wo man in der zweiten Entwickelung d == 0 
setzt. Es folgt daraus ein Lehrsatz, welchen wir seiner umfassenden Anwend 
barkeit wegen hier beifügen. Die Function F{a, 1, y, x) oder, was einerlei ist, 
die Leihe 
4 I U 
1 —— — X 
Y 
a . a-j-1 
Y • Y + 1 
XX 
ct, cc 1. ct 2 
Y • Y + 1 • Y + 2 
a? 3 -}- etc. 
gibt den continuirlichen Bruch 
i 
ax 
1- 
bx 
1- 
cx 
dx 
1— etc. 
wo die Coefficienten a, b, c, d etc. nach folgendem Gesetze fortschreiten 
a 
Y 
(« + i)T 
h = -T.-«. 
T(T + 1) 
” (y+ 1 )(y + 2 ) 
__ («+ 2 )(y+i) 
(Y+ 3)(Y+4) 
d 
2 (y + i - a) 
(Y + 2 )(Y+3) 
jy 3 (y + 2 — a) n 
f == ,~~y [ ; - { U. S. I. 
(Y + 4) (y + 5) 
Hiernach lassen sich z.B. die Potenz eines Binomium, die Leihen für log (1 —)— <2?), 
log , für Exponentialgrössen, für den Bogen durch die Tangente oder durch 
den Sinus u, a, in unendliche continuirliche Brüche verwandeln. Auch beruhen 
hierauf die in der Theoria motus corporum coelestium gegebenen Verwandlungen in 
solche Brüche, deren Beweise hier von dem Verfasser nachgeholt werden. 
Bei weitem den grössten Theil der Abhandlung nimmt der dritte Abschnitt 
ein, in welchem von dem Werthe der Leihe gehandelt wird, wenn man das vierte 
Element = 1 setzt. Nachdem zuvörderst mit geometrischer Schärfe bewiesen, 
dass die Leihe für x = 1 nur dann zu einer endlichen Summe convergire, wenn 
y — a—ö eine positive Grösse ist, führt der Verf. diese Summe, oder i^a, d, y, 1) 
auf den Ausdruck |L|y~ 1 )• n (y g zurück, wo die Charakteristik fl eine 
Ü(Y — a — — 6—1} 
eigene Art transcendenter Functionen andeutet, deren Erzeugung der Verf. auf 
ein unendliches Product gründet. Diese in der ganzen Analyse höchst wichtige 
Function ist im Grunde nichts anders als Eulers inexplicable Function 
Uz = 1.2.3.4 z