DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SERIEM INFINITAM ETC.
201
allein diese Erzeugungsart oder Definition ist, nach des Verf. Urtheil, durchaus
unstatthaft, da sie nur für ganze positive Werthe von z einen klaren Sinn hat.
Die vom Verf. gewählte Begründungsart ist allgemein anwendbar, und gibt selbst
bei imaginären Werthen von z einen eben so klaren Sinn, wie bei reellen, und
man läuft dabei durchaus keine Gefahr, auf solche Paradoxen und Widersprüche
zu gerathen, wie ehedem Hr. Kramp bei seinen numerischen Facultäten, die sich,
wie man leicht zeigen kann, auf obige Function zurückführen lassen, aber zur
Aufnahme in die Analyse weniger geeignet scheinen, als diese, da jene von drei
Grössen abhängig sind, diese nur von Einer abhängt, und doch als eben so allge
mein betrachtet werden muss. Der Verf. wünscht dieser transscendenten Function
II z in der Analyse das Bürgerrecht gegeben zu sehen, wozu vielleicht die Wahlei
nes eigenen Namens für dieselbe am beförderlichsten sein würde : das Hecht dazu
mag demjenigen Vorbehalten bleiben, der die wichtigsten Entdeckungen in der
Theorie dieser der Anstrengungen der Geometer sehr würdigen Function machen
wird. Hier ist von dem Verf. bereits eine bedeutende Anzahl merkwürdiger, sie
betreffender, Theoreme zusammen gestellt, wovon ein Theil als neu zu betrachten
ist. Der Kaum verstattet uns nicht, in das Detail derselben hier einzugehen; nur
das eine heben wir davon aus, dass der Werth des Integrals far~ 1 (1—d# von
x = 0 bis x = 1 leicht auf die Function Fl zurückgeführt werden kann, und
dass alle die von Euler für dergleichen Integrale zum Theil mühsam gefundenen
Relationen sich mit grösster Leichtigkeit aus den allgemeinen Eigenschaften jener
Functionen ableiten lassen, so wie umgekehrt allemal FD, wenn z eine Ratio-
nalgrösse ist, sich durch einige solche bestimmte Integrale darstellen lässt.
Nicht weniger merkwürdig ist die aus der Differentiation von IIz entsprin
gende, gleichfalls transscendente, Function, oder vielmehr
d log ITz dllz
dz Flz.dz
welche der Verfasser mit Tz bezeichnet hat, und die gleichfalls eine besondere
Benennung verdiente. Von den zahlreichen merkwürdigen Eigenschaften dieser
Function, welche in der Abhandlung aufgestellt sind, führen wir hier nur die
Eine an, dass allgemein Tz—Tö, wenn z eine rationale Grösse ist, auf Loga
rithmen und Kreisfunctionen zurückgeführt werden kann; T0 selbst aber ist die
bekannte, von Euler und Andern untersuchte, Zahl 0,5772156649 . . . . negativ
genommen, welche der Verfasser hier, nach einer von ihm selbst geführten Rech-
26