18 
DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS 
✓ 
Hic sufficit, resolubilitatem generalem aequationum, in illo sensu acceptam, ad 
huc valde dubiam esse, adeoque demonstrationem, cuius tota vis ab illa supposi 
tione pendet, in praesenti rei statu nibil ponderis habere. 
Z rati' 
quitur 
tas for 
10. 
Postea etiam clar. de Foncenex, quum in demonstratione prima Euleri de 
fectum animadvertisset (supra art. 8 obiect. 4), quem tollere non poterat, adhuc 
aliam viam tentavit et in comment. laudata p. 120 in medium protulit*). Quae 
consistit in sequentibus. 
Proposita sit aequatio Z — 0, designante Z functionem gradus in 
cognitae z. Si m est numerus impar, iam constat, aequationem hanc habere 
radicem realem; si vero m est par, clar. F. sequenti modo probare conatur, ae 
quationem ad minimum unam radicem formae —1 habere. Sit m = 2 n i, 
designante i numerum imparem, supponaturque zz-\- uz -\~M esse divisor 
functionis Z. Tunc singuli valores ipsius u erunt summae binarum radicum ae- 
quationis Z = 0 (mutato signo), quamobrem u habebit w -’-”-- 2 1 = m valores, 
et si u per aequationem U — 0 determinari supponitur (designante U functio 
nem integram ipsius u et coefficientium cognitorum in Z), haec erit gradus m tl . 
Facile vero perspicitur, m fore numerum formae 2 w-_ V, designante i' numerum 
imparem. Iam nisi ni est impar, supponatur iterum, un-\-uu-\- M' esse divisorem 
ipsius U, patetque per similia ratiocinia, u determinari per aequationem U'= 0. 
ubi U' sit functio ll gradus ipsius u. Posito vero —j—■== m”, erit m" 
numerus formae designante i" numerum imparem. Iam nisi m" est im 
par, statuatur uu-\-uu-\-M" esse divisorem functionis U', determinabiturque 
u per aequationem U" = 0, quae si supponitur esse gradus m' ntl , m" erit nu 
merus formae 2Manifestum est, in serie aequationum U = 0, U'= 0, 
U" = 0 etc. w tam fore gradus imparis adeoque radicem realem habere. Statue 
mus brevitatis gratia n = 3, ita ut aequatio U" — 0 radicem realem u habeat, 
nullo enim negotio perspicitur, pro quovis alio valore ipsius n idem ratiocinium 
valere. Tunc coefficientem M" per u et coefficientes in U' (quos fore functio 
nes integras coefficientium in Z facile intelligitur), sive per u et coefficientes in 
valor a 
modo i 
etiam 
radices 
cient, 
nique 
radicei 
sitae . 
cem fo 
( 
eander 
eunda, 
noxia < 
monstr 
et coef 
indetei 
ii’ exh 
luculei 
Ponam 
Tum p 
— (a-t 
tem er; 
2 <x —} 
27-1- 
Iam in 
*) In tomo secundo eorundem Miscellaneorum p. 337 dilucidationes ad hanc commentationem continen 
tur: attamen hae ad disquisitionem praesentem non pertinent, sed ad logarithmos quantitatum negativarum, 
de quibus in eadem comm. sermo fuerat. 
bitque 
tato si^