OMNEM FUNCTIONEM ALGEBRAICAM ETC. 
19 
Z rationaliter determinabilem fore asserit clar. de F., et proin realem. Eline se 
quitur, radices aequationis uu-\-u"u'-\-M" — 0 sub forma p-\-qsj—1 conten 
tas fore; eaedem vero manifesto aequationi U'= 0 satisfacient: quare dabitur 
valor aliquis ipsius u sub forma p-\-q\]—1 contentus. lam coefficiens M' (eodem 
modo ut ante) rationaliter per u et coefficientes in Z determinari potest, adeoque 
etiam sub forma p-\-q\!—1 contentus erit; quare aequationis uu-\-uu-\-M' 
radices sub eadem forma contentae erunt, simul vero aequationi U = 0 satisfa 
cient, i. e. aequatio haec habebit radicem sub forma p-\-q\j—1 contentam. De 
nique hinc simili ratione sequitur, etiam M sub eadem forma contineri, nec non 
radicem aequationis ez-\-uz-\-M= 0, quae manifesto etiam aequationi propo 
sitae Z = 0 satisfaciet. Quamobrem quaevis aequatio ad minimum unam radi 
cem formae p-\-q\J— 1 habebit. 
11. 
Obiectiones 1, 2, 3, quas contra Euleri demonstrationem primam feci (art. 8), 
eandem vim contra hanc methodum habent, ea tamen differentia, ut obiectio se 
cunda, cui Euleri demonstratio tantummodo in quibusdam casibus specialibus ob 
noxia erat, praesentem in omnibus casibus attingere debeat. Scilicet a priori de 
monstrari potest, etiamsi formula detur, quae coefficientem M' rationaliter per u 
et coefficientes in Z exprimat, hanc pro pluribus valoribus ipsius u necessario 
indeterminatam fieri debere; similiterque formulam, quae coefficientem M" per 
u exhibeat, indeterminatam fieri pro quibusdam valoribus ipsius u etc. Hoc 
luculentissime perspicietur, si aequationem quarti gradus pro exemplo assumimus. 
Ponamus itaque m — 4 , sintque radices aequationis Z — 0, hae a, d, y, o. 
Tum patet, aequationem i7 = 0 fore sexti gradus ipsiusque radices —(a-j-f)), 
— (<x —| y), —(a-j-8), ——J— y), ——(y-(-8). Aequatio Z7'=0 au 
tem erit decimi quinti gradus, et valores ipsius u hi 
2cc —1— —j— 2oc —|— ?? —|— , 2cc —|— y —J— S, 2f>—)— a—(— y, 2—j— a —j— $, 2—j— y —f— 
2y-J-a-t-tf, 2y-f-a-f-c), 2y —j— ^ —f-2^-j-a-f-^, 2 8 + a-f-y, 2^-f-^-f-y, 
ct —J— ^ —j— y —|— -)-y + (), ad-f-y-E & 
lam in hac aequatione, quippe cuius gradus est impar, subsistendum erit, habe- 
bitque ea revera radicem realem oc-f-f>-f-y-f-() (quae primo coefficienti in Z mu 
tato signo aequalis adeoque non modo realis sed etiam rationalis erit, si coefficien- 
3*