THEORIA INTERPOLATIONIS METHODO NOVA TRACTATA. 
267 
vero fieri 8 m 1 = 1, S m = A, tandemque terminos ulteriores tamquam mem 
bra seriei recurrentis per legem sequentem determinari: 
S m 
S m+1 = AS m — BS m ~ l = AA — B 
S m + 2 AS m+1 —CS™- 1 = A s -2BA-{-C 
etc. 
Facile quidem hinc colligitur $ m+1 esse = aa-\-bh-\-cc-\-. . .sive sum 
mam quadratorum cum summa omnium productorum e binis diversis quantitatum 
a, h, c, d. . ,; sed quo clarius perspiciatur, quonam modo termini sequentes ex 
elementis a, h, c, d. . . formentur, observamus ^ esse productum e seriebus 
l-j-a<#-l-aa,37<2?-|-a 3 <£ 3 -(- etc. 
1—1— fe«2? —f-bbxx h 3 0C 3 -\~ etc 
1+ cx-\~ ccxoc +c 3 <2? 3 + etc. 
\-\-d%-\-ddx% -\~d s x 3 -\- etc - 
etc. 
Hoc vero productum est = ? a 1 Wc*, .. X <£ X+IJ ‘ +V * ubi exponentibus X, jx, v... 
omnes valores integri a 0 usque in infin. tribuendi omnibusque quibus fieri potest 
modis combinandi sunt. Quocirca ut in serie, in quam ^ evolvitur, eius ter 
mini, qui continet coefficientem obtineamus, numerum n-j-i — m omni 
bus quibus fieri potest modis in n partes integras X —|—|x —v —f—.. (inter quas etiam 
pars 0 admittitur) discerpere oportet, omnibus quoque permutationibus harum 
partium permissis; atque tunc singula producta a^b^c*... in summam colligere, 
quae erit coefficiens quaesitus, simulque = S n . Levi attentione adhibita pate 
bit, huic regulae prorsus aequivalere sequentem: Ex m quantitatibus a,b,c,d... 
omnes combinationes n-f-l-—m elementorum colligendae, admissis repetitioni 
bus, et singulae tamquam producta considerandae, quorum aggregatum erit = S n . 
Quare erit ut supra S m+1 summa omnium productorum e binis quantitatum 
a, h, c, d . . . tum diversis tum identicis; S m + 2 summa omnium productorum e 
ternis diversis seu identicis etc. 
Nihil iam superest, nisi ut summam progressionis nostrae pro valoribus ne 
gativis ipsius n definire doceamus. Ad quem finem partem primam summae S~~ n , 
puta ( a ZTd)— su ^ hanc formam ponemus 
34