THEORIA INTERPOLATIONIS METHODO NOVA TRACTATA. 
271 
sin (X a -f- k) 
sin£(a — b)sin-‘-(o — c)sin-|-(a — d).. . 
! sin (X b + &) 
' sin \(b — a) sin £(5 — c) sin £ (6 — d ). . . 
, sin (X c + k) 
' sin (c—a) sin a (c — b) sin £ [c — d) .. . 
i sin (ld + k) . etc _ __ y\' 
"T'sin-*-^—fl)sinA(iZ 6)sin^((Z—c) . . . ~ 
Casus primus, si m est impar. 
In hoc casu X debet esse non numerus integer sed fractione affectus sive 
numeri imparis semissis. Ad valores negativos ipsius X non opus est respicere, 
quum habeatur cos (—\a-{-k] = cos(Xa—k) atque sin(—Xa-{-£) = —sin(X&—k), 
adeoque summatio pro valore negativo e summatione pro opposito positivo per so 
lam mutationem ipsius k in — k sponte demanat: haec observatio mahifesto 
etiam in casu sequenti valebit. lam patet facile, pro n = 0, 1, . . . m—2, sive 
pro X = —\m-j-1, —\m-(-2, . . . \m — 1, sive ut valores negativos omittamus, 
pro X = 1, f, f . . . \m — 1 fieri tum Jl' 1 = 0, tum V' 1 = 0; porro 
U im = (2«) m-1 cos(-^-f£), V im = {2i) m ~ i sm{is-{-k) 
JJ~ 1 = (2 i') | cos (-j- s -j— k-\- d) —|— cos }—A* —{—&)—!— cos {-%-s—j— k —}— c) 
-f-cos(£s + A’-l-d)-j“ etc.j 
V im+l = (2 i) m ~~ 1 ¡sin(ii+*+«) + sin(4-i+A+6) + 8in(-l-i+*+c) 
—j— sin (jr s—[— k—j~ d'j—)— etc.j 
JJ* m+2 vel V* mJr 2 aequalem producto ex (2*) m—1 in summam cosinuum vel sinuum 
omnium angulorum, qui oriuntur addendo cum binis angulorum a.b,c,d— 
diversis seu identicis; f7* m + 3 ve i y$ m +* aequalem producto ex (2 i) m 1 in 
summam cosinuum vel sinuum omnium angulorum, qui oriuntur addendo %s-\-k 
cum ternis ex iisdem etc. Ceterum vix opus erit admonere, potestatem quanti 
tatis imaginariae i cum exponente pariter pari fieri = —1, cum impariter 
pari = —1. 
Casus secundus, si m est par. 
In hoc casu X debet esse numerus integer, fitque pro X = 0, 1,2 .. .\m — 1 
tum "U l = 0, tum = 0. Porro erit