rnrnm 
• 
20 
DEMONSTRATIO NOYA THEOREMATIS 
tes in Z sunt rationales). Sed nullo negotio perspici potest, si formula detur, 
quae valorem ipsius M' per valorem respondentem ipsius u rationaliter exhibeat, 
hanc necessario pro u'= a-j— ^ y —j— ^ indeterminatam fieri. Hic enim valor 
ter erit radix aequationis U' = 0 , respondebuntque ipsi tres valores ipsius M', 
puta (a-f-b) (y-f-S), (a-f-y) (b-)-c)) et (a-f-d) (b-}-y), qui omnes irrationales esse 
possunt. Manifesto autem formula rationalis neque valorem irrationalem ipsius 
M' in hoc casu producere posset, neque tres valores diversos. Ex hoc specimine 
satis colligi potest, methodum clar, de Foncenexu neutiquam esse satisfacientem, 
sed si ab omni parte completa reddi debeat, multo profundius in theoriam elimi 
nationis inquiri oportere. 
12. 
Denique ili. La Grange de theoremate nostro egit in comm. Sur la forme 
des racines imaginaires des équations, Nouv. Mém. de T Acad, de Berlin 177 2, 
p. 222 sqq. Magnus hic geometra imprimis operam dedit, defectus in Euleri de 
monstratione prima supplere et revera praesertim ea, quae supra (art, 8) obiectio- 
nem secundam et quartam constituunt, tam profunde perscrutatus est, ut nihil am 
plius desiderandum restet, nisi forsan in disquisitione anteriori super theoria eli 
minationis (cui investigatio haec tota innititur) quaedam dubia superesse videan 
tur. Attamen obiectionem tertiam omnino non attigit, quin etiam tota dis 
quisitio superstructa est suppositioni, quamvis aequationem m ix gradus revera m 
radices habere. 
Probe itaque iis, quae hucusque exposita sunt, perpensis, demonstrationem 
novam theorematis gravissimi ex principiis omnino diversis petitam peritis haud 
ingratam fore spero, quam exponere statim aggredior. 
13. 
Lemma. Denotante m numerum integrum positivum quemcunque, functio 
jrn—1 
sin cp. x"’ — sin m cp. r"" 1 x -j- sin [m — 1 )cp.r m divisibilis erit per xx— 2 cos cp. rx -f- rr. 
Demonstr. Pro m = 1 functio illa fit = 0 adeoque per quemcunque facto 
rem divisibilis; pro m = 2 quotiens fit sin cp, et pro quovis valore maiori quo 
tiens erit sin cp. x m ~ 2 -j- sin 2 cp. r x m ~ s s* 11 3 cp. r r x m ~ A -f- etc. -f- sin {m — 1 )cp. r w—2 . 
Facile enim confirmatur, multiplicata hac functione per xx—2 cos cp . rx-\~ rr, 
productum functioni propositae aequale fieri. 
quation 
functio 
factor 
eadem j 
per x 
divisib: 
secund 
nescerc 
ductun 
visibile 
functio 
M -= 
riori e: 
Quare 
x- 
r (