318 
NACHLASS. 
36. 
Transformationes in art. praec. atque in art. 32 traditae concinnius ex theo 
remate quodam generali deduci possunt, quod quum per se quoque satis elegans 
sit, paucis hic adhuc attingemus. 
Theorema. Designantibus X, X', X" numeros integros quoscunque, p numerum 
integrum, qui differentias inter illos, X'—X, X"—X', X — X" metitur [e. g. unitatem), 
x arcum indefinitum, a arcum definitum: functiones 
P = sin (X'— X") a cos X x -j- sin (X"— X) a cos Xx -{- sin (X — X') a cos X'x 
Q = sin (X'— X") a sin X x -j- sin (X"— X) a sin Xx -j- sin (X — X') a cos X'x 
per cos{x<r—cos;xa erunt divisibiles. 
Demonstr. Quando X per jjl divisibilis est, ideoque etiam X', X' per |x di 
visibiles erunt, facile confirmatur, valorem ipsarum P, Q, si substituatur x = a, 
esse identice = 0; quare P non mutabitur, si pro 
cos\x substituitur cosX x—cosXa 
cos Xx — cos Xa 
cosX'x— cosX'a 
cos Xx 
cos X'x 
neque Q, si pro 
" £,; " \xx 
sinX,r substituitur 
1 (XX 
sin Xx 
sin X'x 
sinp-a 
Sed hae sex expressiones per cos^o 1 —cos \ia divisibiles sunt, quod pro va- 
lore positivo ipsius X de prima et quarta ostendisse sufficit. Scilicet facile per 
multiplicationem confirmatur, esse 
sin (x a (cos X x — cos X a) 
= (cos \lx — cos ¡xa) 12 sin ¡xa cos (X — [x) x -f- 2 sin 2 ¡x a cos (X — 2 [x) x 
-j-2sin 3(xacos(X—3{x)a?-(- etc. -f-2sin(X-—[x)acos|x<27 —}— sinX«| 
sin [xasinX#— sin Xa sin \ix 
= (cos [ix — cos |xa) I 2 sin |xa sin (X — jx)<2?—(— 2 sin 2 jxasin (X — 2 (x)a? 
+ 2sin3|xasin(X — 3|x)<a?-f- etc. -f-2sin(X—{x)asin{x<i7| 
Casus, ubi X est negativus, ad hunc sponte reducitur. Hinc patet, functiones