28 
DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS 
tum (seu, brevitatis caussa, quodvis punctum par) per ramum lineae primae cum 
alio puncto pari intra circulum iunctum esse debere, similiterque quodvis punctum 
numero impari notatum cum alio simili puncto per ramum lineae secundae. Quam 
quam vero haec binorum punctorum connexio secundum indolem functionis X 
perquam diversa esse potest, ita ut in genere determinari nequeat, tamen facile 
demonstrari potest, quaecunque demum illa sit, semper intersectionem lineae primae 
cum linea secunda oriri. 
22. 
Demonstratio huius necessitatis commodissime apagogice repraesentari posse 
videtur. Scilicet supponamus, iunctionem binorum quorumque punctorum parium, 
et binorum quorumque punctorum imparium ita adornari posse, ut nulla inter 
sectio rami lineae primae cum ramo lineae secundae inde oriatur. Quoniam axis 
est pars lineae primae, manifesto punctum 0 cum puncto 2m iunctum erit. 
Punctum 1 itaque cum nullo puncto ultra axem sito, i. e. cum nullo puncto per 
numerum maiorem quam 2m expresso iunctum esse potest, alioquin enim linea 
iungens necessario axem secaret. Si itaque 1 cum puncto n iunctum esse sup 
ponitur, erit n<^2m. Ex simili ratione si 2 cum n iunctum esse statuitur, erit 
n<^n, quia alioquin ramus 2 ...n' ramum 1 ...n necessario secaret. Ex eadem 
caussa punctum 3 cum aliquo punctorum inter 4 et n iacentium iunctum erit, 
patetque si 3, 4, 5 etc. iuncta esse supponantur cum n", n”, n" etc., n' iacere in 
ter 5 et n", n" inter 6 et n" etc. Unde perspicuum est, tandem ad aliquod 
punctum h perventum iri, quod cum puncto h -f- 2 iunctum sit, et tum ramus, 
qui in puncto h-\-\ in circulum intrat, necessario ramum puncta h et /¿-f-2 iun- 
gentem secabit. Quia autem alter horum duorum ramorum ad lineam primam, 
alter ad secundam pertinebit, manifestum iam est, suppositionem esse contra 
dictoriam, adeoque necessario alicubi intersectionem lineae primae cum linea se 
cunda fieri. 
primam supra te habuisti, in egressu, infra; quare necessario alicubi in superficiem primam ipsam incidere de 
buisti, sive in punctum lineae primae. — Ceterum ex hoc ratiocinio principiis geometriae situs innixo, quae 
haud minus valida sunt, quam principia geometriae magnitudinis, sequitur tantummodo, si in aliquo ramo li 
neae primae in circulum intres, te alio loco ex circulo rursus egredi posse, semper in linea prima manendo, ne 
que vero, viam tuam esse lineam continuam in eo sensu, quo in geometria sublimiori accipitur. Sed hic suffi 
cit, viam esse lineam continuam in sensu communi, i. e. nullibi interruptam sed ubique cohaerentem.