DE ORIGINE NUMERORUM MEDIORUM ÁRITHM. GEOMETRICORUM. 
371 
adeoque valor intra limites ante allatos, — Pcp, unde y = P. lam observamus, 
quum sit ^ + 1—a?) fieri quoque ^- = M(l,\/(l—a?a?)). Hinc facil 
lime derivatur sequens theorema generalius: Si expressio talis v /^-_^ cos? ^ = W 
in seriem secundum cosinus angulorum 2 cp, 4 cp, 6 cp etc. progredientem evolva 
tur, cuius terminus constans designetur per P; valores maximus et minimus ipsius 
W autem (puta et ~ g ) denotentur per v, v: erit -p medium arithme- 
tico-geometricum inter et ^7. Proxime quidem ratiocinia praecedentia pro eo 
tantummodo casu valent, ubi y est quantitas positiva: sed facillime ad eum quoque 
casum extenduntur, ubi y est negativus. In hocce enim casu fit W = ^ 
ponendo ^ = 90 — cp; unde med. inter ^ et Ut supra. 
Y -f- ycos^ 2 ) 
Ceterum 
nullo negotio patet, idem theorema sine ulla mutatione etiam ad expressiones ta 
les , /g -,- a t extendi, puta ut ^—r fiat 
^ y/(6 + y cos cp) ’ r lerm. Const. 
= M( , ^±I>) 
'valor max. vaiormimm. / 'a a ' 
huiusmodi enim functiones reducentur ad formam 
ei de qua 
\j (6 — y + 2 T cos 'P) ’ 
modo diximus prorsus similem, si scribatur cp = 2<]j # ). 
Denique monemus, in sequentibus demonstrationem multo generaliorem 
eorundem theorematum ex principiis magis genuinis datum iri; praetereaque mox 
etiam omnes reliquos coeificientes Q, R, S etc. per methodos aeque expeditas 
eruere docebimus. Hoc loco haec disquisitio eam quoque utilitatem praestabit, 
ut iis, qui dum veritatum aeternarum sublimitatem atque divinam venustatem non 
sapiunt, earum pretium ex solo usu, qui inde in partes matheseos applicatae re 
dundare potest aestimare noverunt, — hasce investigationes cariores reddat. Quan 
tae enim utilitatis sit evolutio coeificientium P, Q, R, S etc. tam rapida, ut ea 
quae ex his principiis promanai, in astronomia physica sive theoria perturbatio 
num planetarum, nemo ignorat. 
*) Ceterum ex praecedd. sponte sequitur, si plures expressiones tales CQg ita comparatae 
sint, ut ipsarum valores extremi aequales sint: terminos constantes ex ipsarum evolutione prodeuntes necessa 
rio aequales fieri, etiamsi omnes reliqui coeificientes valde discrepent. 
47