382
NACHLASS.
und als specielle Fälle der dortigen Gleichungen [90] und [96] der oben Art. 12
gefundene Grenzwerth von M (1, e) log ~ und die im vorigen Artikel aufgestellte
Differentialgleichung erster Ordnung zwischen M{a, b) und M(a,c) ergeben.]
15.
[Die Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Glieder der Reihe des
arithmetisch geometrischen Mittels nimmt eine Form an, in welcher sie Differen
tiale nur von Quotienten der Veränderlichen enthält, wenn man mit einer belie
bigen Grösse e den Ausdruck D-j-d(-^ dlog—j— ^ (dloge) 2 bildet, dieser wird
nemlich
1 (diog£; 2
4 A
ein Ausdruck, dessen Werth also unabhängig von n ist und sich auch nicht än
dert, wenn man b n und c n oder c 1 und a n statt a 1 und 6 n setzt. Derselbe ver
wandelt sich für beständig wachsende positive und für negative n in
-^MK^dliMi-^dM) und in -eM(a,c).d
M(a, c)
:AM (a,c) 2 ~ c »
dagegen für n gleich Null und für a, b, c als besondere Werthe von e bezie
hungsweise in -f-A hbcc, —A ccaa, —A aahb.
Setzt man also zur Abkürzung
Vm (a.b) P* ^ M [a, b) — i* ^
r,
TU
M(o,6)
log y
M(o,4) »M — V M (a, b) ' ’
so wird mit Rücksicht auf die Gleichung für A in Art. 1 3 :
i k -
T M («, bf = 4 d logy = ~ d log r ~ = 1 d log r - = 1 d log £
PP_ j / i j J \ qq_ i / i rr i , i , i v
^d logp pp) r*’p t ’ 'dlogy ’ qq) 'dlogy ’ rr')
A
und von gleicher Form werden die Ausdrücke des
d-J-
v M(a,
o)'
v'i
M(a, cf in
M (a, c)
TU
M (a, c) ’ V M {a, c)' "M [a,b)
Die Elimination von je zwei der drei Grössen p, q, r ergibt
! P* dlogp
d log [
i6
P 6 dlogy 'dlogi/
d(:
A f„W
16
dijA-dA- 1 = °
p 6 dlogy Mlog?/' pp