ARITHMETISCH GEOMETRISCHES MITTEL. 
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18. 
[Mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels hat Gauss 
einen andern in Verbindung gebracht, welcher ebenfalls wie jener von zwei ge 
gebenen Grössen, die hier a und h bezeichnet werden sollen, ausgeht und auf 
eine solche Form zurückgeführt werden kann, dass viele Analogien mit jenem 
sich zeigen, wenn nemlich 
4da = (a-\-b) 2 , h'h' = ah, u. s. f. 
4 da! = [a + ö) 2 , Vfi'= aß, u.s.f. 
gesetzt wird. Ebenso wie die bisherigen Untersuchungen durch Einführung der 
die Gleichung aa = hh-\-cc erfüllende Grösse c bedeutend übersichtlicher 
wurden, wird hier eine entsprechende Vereinfachung der Formeln erreicht, wenn 
man y durch die Gleichung aa — 6€-{-cy und 3 durch 
hc{h y — cl5) = ca[a y — ca) — ahiha— aß) = ahch 
so wie y 11 , 3 n durch dieselben Gleichungen, nachdem allen Zeichen der Index n 
gegeben ist, einführt. Unter den zwischen diesen Grössen bestehenden Relatio 
nen finden die folgenden bei der Untersuchung dieses Algorithmus vielfache An 
wendung : 
a + 6 y — 8 a—6 y + 8 a + Y 6 + 8 a— Y 6 — 8 
a-\-b c ’ a — b c ’ a + c 6 ’ a — c c 
aa-j-33 = öö-j-yy = y (a -f~ y £) — y(ay— €3) = a(a'-)-7 , ) 
aa — y y = 6 6 — 33 = y (hy — a3) = y (ah — y3) = 6(a'—y') 
aa — ßß = yy — 33 = y(ay-f-^3) = y(öy + a3) = 2c\Za'y'