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ARITHMETISCH GEOMETRISCHES MITTEL. 
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[Mit Hülfe der Gleichung für dlog^ lassen sich durch wiederholte An 
wendung derselben unmittelbar die Reihen für die Differentiale der einzelnen 
Grössen a, ß, y, 3 aufstellen, für ein negatives 6 entsteht: 
k dl °^ 
2 d.M 
sin V _ 
cos U 
2 d« 
b 
cosV 
sin ü 
= c'sin 2 V'-h c" sin 2 2 V"+ c"sin 2 3 F"'+ . . .] 
20. 
[Die Differentiale zweiter Ordnung, welche auf die Grösse rj als einzige 
unabhängig Veränderliche sich beziehen, können unmittelbar durch Differentia 
tion der Differentialgleichung erster Ordnung hergeleitet und die Bestimmung 
ihrer Werthe in der Weise dargestellt werden, dass die Ausdrücke von der Form 
d i äl °°f| .***$ dl °gf 
d log 7] L d log 7) J ‘ 2 d log Y) d log r rj 
für die mit irgend welchem gemeinsamen Index behafteten a, ß, y, 3 verschwin 
den, in welcher Reihenfolge die a, ß, y, d auch darin eingesetzt sein mögen. 
Multiplicirt man Zähler und Nenner unter dem zweimal zu differentiirenden Lo 
garithmus mit ß, ersetzt aß durch b'ß' und die Derivirten erster Ordnung durch 
ihre Werthe so erhält man für zwei aufeinander folgende Indices: 
ddlog gg 00 _ 
(dlogvj) 2 ' kk g' kk g 2 kk 
und hieraus durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung und mit Zuhülfe 
nähme der in Art. 13 für dlogM(a,6) gefundenen Reihe die Gleichung 
dlog-|- ddlogA 
k x 
d log?/ (d logTj) 8 
d d log — 
i««l 
2 kk a (dlogYj)*~ 2 kk g 
d d log ~ 
(d log Y]) a 
d d log — „ 
, ac >a y- . i ac 6 
2 kk y (dlogr))* *" 2 kk B 
welche ihre Gültigkeit behält, wenn a, b, c, a,ß, y, S, x, y, r] mit irgend einem 
gemeinsamen von Null verschiedenen Index behaftet werden.